ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.100

1) Применим формулу тангенса суммы двух углов $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$, где $\alpha = 2x$, $\beta = 3x$: $$ \frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} 3x}{1 - \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 3x} = \operatorname{tg}(2x + 3x) = \operatorname{tg} 5x $$ 2) Применим формулу тангенса разности двух углов $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$, где $\alpha = 5x$, $\beta = 2x$: $$ \frac{\operatorname{tg} 5x - \operatorname{tg} 2x}{1 + \operatorname{tg} 2x \operatorname{tg} 5x} = \operatorname{tg}(5x - 2x) = \operatorname{tg} 3x $$ 3) Представим число $1$ как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}$ и воспользуемся формулой тангенса разности: $$ \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} x} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right) $$ 4) Раскроем тангенсы суммы и разности по соответствующим формулам: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} x} = \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} $$ $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} x} = \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} $$ Перемножим полученные выражения: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} \cdot \frac{1 - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} x} = 1 $$ 5) Применим формулу косинуса суммы двух углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, где $\alpha = \frac{3\pi}{8}$, $\beta = \frac{\pi}{8}$: $$ \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8} = \cos\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$ 6) Применим формулу косинуса разности двух углов $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, где $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$: $$ \cos \frac{5\pi}{6} \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{5\pi}{6} \sin \frac{\pi}{3} = \cos\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}\right) = \cos \frac{3\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$ **Ответ:** 1) $\operatorname{tg} 5x$; 2) $\operatorname{tg} 3x$; 3) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$; 4) $1$; 5) $0$; 6) $0$.