ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.100

Формула суммы первых $m$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $$ S_m = \frac{2a_1 + d(m - 1)}{2} \cdot m $$ По условию задачи разность прогрессии равна $d = 2a_1$. Подставим это значение в общую формулу суммы: $$ S_m = \frac{2a_1 + 2a_1(m - 1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1(1 + m - 1)}{2} \cdot m = \frac{2a_1 \cdot m}{2} \cdot m = a_1 m^2 $$ Используя полученную формулу $S_m = a_1 m^2$, запишем выражения для сумм $S_n$, $S_k$ и $S_{n+k}$: $$ S_n = a_1 n^2 $$ $$ S_k = a_1 k^2 $$ $$ S_{n+k} = a_1 (n + k)^2 $$ Преобразуем левую часть доказываемого равенства: $$ \frac{S_n - S_k}{S_{n+k}} = \frac{a_1 n^2 - a_1 k^2}{a_1 (n + k)^2} $$ Вынесем в числителе общий множитель $a_1$ за скобки и разложим разность квадратов по формуле $n^2 - k^2 = (n - k)(n + k)$: $$ \frac{a_1 (n^2 - k^2)}{a_1 (n + k)^2} = \frac{a_1 (n - k)(n + k)}{a_1 (n + k)^2} $$ Сократим дробь на общий множитель $a_1 (n + k)$ при $a_1 \neq 0$: $$ \frac{n - k}{n + k} $$ Левая часть равенства совпала с правой: $$ \frac{S_n - S_k}{S_{n+k}} = \frac{n - k}{n + k} $$ Что и требовалось доказать.