ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.102

Преобразуем формулу общего члена последовательности, раскрыв скобки: $$ a_n = 2(n + 3^{n-1}) - 3 = 2n + 2 \cdot 3^{n-1} - 3 = (2n - 3) + 2 \cdot 3^{n-1} $$ Сумму первых $n$ членов последовательности $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ можно представить в виде суммы двух слагаемых: $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 3) + \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1} $$ 1. Найдём сумму $A_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 3)$. Последовательность $x_k = 2k - 3$ является арифметической прогрессией: * первый член: $x_1 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$; * $n$-й член: $x_n = 2n - 3$. Применим формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $$ A_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{-1 + (2n - 3)}{2} \cdot n = \frac{2n - 4}{2} \cdot n = (n - 2)n = n^2 - 2n $$ 2. Найдём сумму $B_n = \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^{k-1}$. Последовательность $y_k = 2 \cdot 3^{k-1}$ является геометрической прогрессией: * первый член: $y_1 = 2 \cdot 3^0 = 2$; * знаменатель прогрессии: $q = 3$. Применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $$ B_n = \frac{y_1 (q^n - 1)}{q - 1} = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{2(3^n - 1)}{2} = 3^n - 1 $$ 3. Найдём общую сумму $S_n$: $$ S_n = A_n + B_n = (n^2 - 2n) + (3^n - 1) = 3^n + n^2 - 2n - 1 $$ Ответ: $S_n = 3^n + n^2 - 2n - 1$.