ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.125

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель, причём $|q| < 1$. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ По условию задачи $S = 3$, следовательно: $$ \frac{b_1}{1 - q} = 3 \implies b_1 = 3(1 - q) $$ Кубы членов данной прогрессии образуют новую геометрическую прогрессию: $b_1^3, b_2^3, b_3^3, \dots$ с первым членом $B_1 = b_1^3$ и знаменателем $Q = q^3$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^3| < 1$, значит, эта прогрессия также является бесконечно убывающей. Сумма кубов её членов вычисляется по формуле: $$ S_3 = \frac{b_1^3}{1 - q^3} $$ По условию $S_3 = \frac{108}{13}$. Подставим выражение для $b_1 = 3(1 - q)$ в формулу суммы кубов: $$ \frac{(3(1 - q))^3}{1 - q^3} = \frac{108}{13} $$ $$ \frac{27(1 - q)^3}{(1 - q)(1 + q + q^2)} = \frac{108}{13} $$ Сократим дробь в левой части на $(1 - q) \neq 0$: $$ \frac{27(1 - q)^2}{1 + q + q^2} = \frac{108}{13} $$ Разделим обе части уравнения на $27$: $$ \frac{(1 - q)^2}{1 + q + q^2} = \frac{4}{13} $$ Применим основное свойство пропорции: $$ 13(1 - 2q + q^2) = 4(1 + q + q^2) $$ $$ 13 - 26q + 13q^2 = 4 + 4q + 4q^2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 9q^2 - 30q + 9 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ 3q^2 - 10q + 3 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $$ $$ q = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} $$ $$ q_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3 $$ $$ q_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ По условию прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому $|q| < 1$. Значение $q = 3$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, знаменатель прогрессии равен: $$ q = \frac{1}{3} $$ Найдем первый член прогрессии $b_1$: $$ b_1 = 3\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 $$ Найдем следующие члены прогрессии: $$ b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$ $$ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} $$ $$ b_4 = b_3 \cdot q = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27} $$ Ответ: $2; \frac{2}{3}; \frac{2}{9}; \frac{2}{27}; \dots$