ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.123

Пусть $(b_n)$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 \neq 0$ и знаменателем $q$, причем $|q| < 1$. Для любого члена $b_n$ сумма всех членов, следующих за ним, представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_{n+1} = b_n \cdot q$ и тем же знаменателем $q$: $$ S'_n = b_{n+1} + b_{n+2} + b_{n+3} + \dots = \frac{b_{n+1}}{1 - q} = \frac{b_n \cdot q}{1 - q} $$ По условию задачи каждый член прогрессии в 10 раз превышает сумму всех последующих членов: $$ b_n = 10 \cdot S'_n $$ $$ b_n = 10 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1 - q} $$ Так как члены геометрической прогрессии отличны от нуля ($b_n \neq 0$), разделим обе части уравнения на $b_n$: $$ 1 = \frac{10q}{1 - q} $$ $$ 1 - q = 10q $$ $$ 11q = 1 $$ $$ q = \frac{1}{11} $$ Условие бесконечной убываемости выполняется, так как $|q| = \left|\frac{1}{11}\right| < 1$. Первый член прогрессии $b_1$ может быть любым ненулевым числом. Выберем, например, $b_1 = 1$. Тогда члены прогрессии равны: $$ b_1 = 1 $$ $$ b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{11} $$ $$ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{121} $$ $$ b_4 = b_3 \cdot q = \frac{1}{121} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{1331} $$ Таким образом, искомая прогрессия имеет вид: $$ 1;\; \frac{1}{11};\; \frac{1}{121};\; \frac{1}{1331};\; \dots $$ (В общем виде: $b_1;\; \frac{b_1}{11};\; \frac{b_1}{121};\; \dots$, где $b_1 \neq 0$). Ответ: $1;\; \frac{1}{11};\; \frac{1}{121};\; \frac{1}{1331};\; \dots$ (или любая прогрессия с $q = \frac{1}{11}$ и $b_1 \neq 0$).