ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.111

Каждый из представленных рядов является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии применяется формула: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$. **1)** $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{3^n} + \ldots$ 1. Определим первый член прогрессии и её знаменатель: $b_1 = \frac{1}{3}$; $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{9} : \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1}{3}$. 2. Так как $|q| = \left|\frac{1}{3}\right| < 1$, ряд сходится. 3. Вычислим сумму ряда: $$ S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- **2)** $\frac{4}{25} - \frac{8}{125} + \ldots + \left(-\frac{2}{5}\right)^n + \ldots$ 1. Определим первый член прогрессии и её знаменатель: $b_1 = \frac{4}{25}$; $q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{8}{125} : \frac{4}{25} = -\frac{8}{125} \cdot \frac{25}{4} = -\frac{2}{5}$. 2. Так как $|q| = \left|-\frac{2}{5}\right| = \frac{2}{5} < 1$, ряд сходится. 3. Вычислим сумму ряда: $$ S = \frac{\frac{4}{25}}{1 - \left(-\frac{2}{5}\right)} = \frac{\frac{4}{25}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{7}{5}} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{35} $$ Ответ: $\frac{4}{35}$. --- **3)** $\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{\sqrt{3}}{3^{n-1}} + \ldots$ 1. Определим первый член прогрессии и её знаменатель: $b_1 = \sqrt{3}$; $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{\sqrt{3}} : \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$. 2. Так как $|q| = \left|\frac{1}{3}\right| < 1$, ряд сходится. 3. Вычислим сумму ряда: $$ S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. --- **4)** $\frac{5}{7} - \frac{25}{49} + \ldots + (-1)^{n-1} \left(\frac{5}{7}\right)^n + \ldots$ 1. Определим первый член прогрессии и её знаменатель: $b_1 = \frac{5}{7}$; $q = \frac{b_2}{b_1} = -\frac{25}{49} : \frac{5}{7} = -\frac{25}{49} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{5}{7}$. 2. Так как $|q| = \left|-\frac{5}{7}\right| = \frac{5}{7} < 1$, ряд сходится. 3. Вычислим сумму ряда: $$ S = \frac{\frac{5}{7}}{1 - \left(-\frac{5}{7}\right)} = \frac{\frac{5}{7}}{1 + \frac{5}{7}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{12}{7}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{12} = \frac{5}{12} $$ Ответ: $\frac{5}{12}$.