ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.110

Геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 \neq 0$ и знаменателем $q$ является бесконечно убывающей тогда и только тогда, когда модуль её знаменателя строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$. 1) По условию $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$. Найдем знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} $$ Проверим условие бесконечного убывания: $$ |q| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1 $$ Первый член $a_1 = 1 \neq 0$, условие $|q| < 1$ выполняется. Ответ: Да, прогрессия будет бесконечно убывающей. 2) По условию $a_1 = 3$, $a_2 = -1$. Найдем знаменатель прогрессии: $$ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3} $$ Проверим условие бесконечного убывания: $$ |q| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} < 1 $$ Первый член $a_1 = 3 \neq 0$, условие $|q| < 1$ выполняется. Ответ: Да, прогрессия будет бесконечно убывающей. 3) По условию $a_2 = 1$, $a_3 = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$. Найдем знаменатель прогрессии $q = \frac{a_3}{a_2}$: $$ q = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $(\sqrt{3} - 1)$: $$ q = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} $$ Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, получаем: $$ 0 < 2 - \sqrt{3} < 1 \implies |q| = 2 - \sqrt{3} < 1 $$ При этом $a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \neq 0$. Ответ: Да, прогрессия будет бесконечно убывающей. 4) По условию $a_1 = \sqrt{2}$, $a_2 - a_1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$. Найдем второй член прогрессии: $$ a_2 = a_1 + \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $$ Найдем знаменатель прогрессии $q = \frac{a_2}{a_1}$: $$ q = \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} $$ Так как $\sqrt{2} > 1$, то $\sqrt{2} + 1 > 2$, а значит: $$ q = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} > 1 \implies |q| > 1 $$ Условие $|q| < 1$ не выполняется. Ответ: Нет, прогрессия не будет бесконечно убывающей. 5) По условию $a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $a_3 = \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$, $a_2 > 0$. Выразим $a_3$ через $a_1$ и $q$: $$ a_3 = a_1 \cdot q^2 \implies q^2 = \frac{a_3}{a_1} $$ $$ q^2 = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Так как $a_1 > 0$ и по условию $a_2 = a_1 \cdot q > 0$, то знаменатель $q > 0$. Поскольку $1 < \sqrt{3} < 2$, то: $$ 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 \implies 0 < 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 $$ Следовательно, $0 < q^2 < 1$, откуда $|q| < 1$. Ответ: Да, прогрессия будет бесконечно убывающей. 6) Дана система: $$ \begin{cases} a_1 + a_4 = \frac{7}{16}, \\ a_1 - a_2 + a_3 = \frac{7}{8} \end{cases} $$ Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$ ($a_2 = a_1 q$, $a_3 = a_1 q^2$, $a_4 = a_1 q^3$): $$ \begin{cases} a_1(1 + q^3) = \frac{7}{16}, \\ a_1(1 - q + q^2) = \frac{7}{8} \end{cases} $$ Применим формулу суммы кубов к первому уравнению: $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$: $$ a_1(1 + q)(1 - q + q^2) = \frac{7}{16} $$ Разделим первое уравнение на второе: $$ \frac{a_1(1 + q)(1 - q + q^2)}{a_1(1 - q + q^2)} = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{7}{8}} $$ $$ 1 + q = \frac{7}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{2} $$ $$ q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $$ Найдем $a_1$: $$ a_1\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2\right) = \frac{7}{8} $$ $$ a_1\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{7}{8} $$ $$ a_1 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8} \implies a_1 = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{2} \neq 0 $$ Проверим условие бесконечного убывания: $$ |q| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1 $$ Ответ: Да, прогрессия будет бесконечно убывающей.