ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.80

1) $xy \leqslant 1$ Границей области является гипербола $xy = 1$, то есть $y = \frac{1}{x}$. Разделим рассмотрение на три случая в зависимости от знака $x$: - Если $x > 0$, то при делении обеих частей неравенства на $x$ знак неравенства сохраняется: $$ y \leqslant \frac{1}{x} $$ Это область точек в I и IV координатных четвертях, расположенная не выше правой ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$. - Если $x < 0$, то при делении обеих частей неравенства на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $$ y \geqslant \frac{1}{x} $$ Это область точек во II и III координатных четвертях, расположенная не ниже левой ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$. - Если $x = 0$, то получаем $0 \cdot y \leqslant 1 \implies 0 \leqslant 1$, что верно при любом значении $y$. Значит, ось ординат ($Oy$) целиком входит в область решений. **Итог:** множеством решений на координатной плоскости является область, лежащая между ветвями гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и содержащая начало координат $(0; 0)$ вместе с осью $Oy$, включая саму границу — гиперболу $y = \frac{1}{x}$ (изображается сплошной линией). --- 2) $|x|y \leqslant 1$ Так как $|x| \geqslant 0$ при любых $x$, рассмотрим два случая: - Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. Разделим обе части на $|x|$: $$ y \leqslant \frac{1}{|x|} $$ При $x > 0$ имеем $|x| = x$, откуда $y \leqslant \frac{1}{x}$. При $x < 0$ имеем $|x| = -x$, откуда $y \leqslant -\frac{1}{x}$. Границей является график функции $y = \frac{1}{|x|}$, обе ветви которого расположены в верхней полуплоскости ($y > 0$). - Если $x = 0$, то получаем $|0| \cdot y \leqslant 1 \implies 0 \leqslant 1$, что верно для любого $y \in \mathbb{R}$. Следовательно, ось $Oy$ входит в решение. **Итог:** множеством решений является вся область координатной плоскости, лежащая не выше графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ (под обеими его ветвями, включая всю нижнюю полуплоскость $y \leqslant 0$, ось $Oy$ и сам график $y = \frac{1}{|x|}$, начерченный сплошной линией). --- 3) $x|y| \leqslant 1$ Так как $|y| \geqslant 0$ при любых $y$: - Если $x \leqslant 0$, то произведение неположительного числа $x$ и неотрицательного $|y|$ всегда неположительно: $$ x|y| \leqslant 0 \leqslant 1 $$ Неравенство выполняется при любых $y$. Следовательно, вся левая полуплоскость $x \leqslant 0$ (включая ось $Oy$) является решением. - Если $x > 0$, разделим обе части на $x$: $$ |y| \leqslant \frac{1}{x} \iff -\frac{1}{x} \leqslant y \leqslant \frac{1}{x} $$ При каждом фиксированном $x > 0$ переменная $y$ находится в промежутке $\left[-\frac{1}{x}; \frac{1}{x}\right]$. **Итог:** множеством решений является объединение всей левой полуплоскости $x \leqslant 0$ (включая ось $Oy$) и области в правой полуплоскости ($x > 0$), расположенной между ветвями гипербол $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$, включая сами границы (линии сплошные). --- 4) $|xy| \leqslant 1$ По свойству модуля $|a| \leqslant 1 \iff -1 \leqslant a \leqslant 1$: $$ -1 \leqslant xy \leqslant 1 $$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} xy \leqslant 1 \\ xy \geqslant -1 \end{cases} $$ Границами области служат две гиперболы: $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$. - При $x > 0$: $$ -\frac{1}{x} \leqslant y \leqslant \frac{1}{x} $$ (область между правой ветвью гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ и правой ветвью $y = \frac{1}{x}$). - При $x < 0$ (знаки меняются при делении на $x$): $$ \frac{1}{x} \leqslant y \leqslant -\frac{1}{x} $$ (область между левой ветвью $y = \frac{1}{x}$ и левой ветвью $y = -\frac{1}{x}$). - При $x = 0$ или $y = 0$: произведение равно $0$, а $|0| \leqslant 1$ верно. Поэтому координатные оси $Ox$ и $Oy$ целиком принадлежат множеству решений. **Итог:** множеством решений является симметричная крестообразная область, заключенная между ветвями гипербол $xy = 1$ и $xy = -1$, содержащая оси координат и точку $(0; 0)$, включая сами границы (сплошные линии гипербол).