ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.77

1) $x - 2y + 1 \geq 0$ Выразим переменную $y$: $$ -2y \geq -x - 1 \iff y \leq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} $$ 1. Граница области — прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), границу изображаем сплошной линией. 2. Точки для построения прямой: $(-1; 0)$ и $(1; 1)$. 3. Выберем пробную точку $O(0; 0)$: $$ 0 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \geq 0 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, включая саму прямую. --- 2) $2x + y \leq 4$ Выразим переменную $y$: $$ y \leq -2x + 4 $$ 1. Граница области — прямая $y = -2x + 4$. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому границу проводим сплошной линией. 2. Точки для построения прямой: $(0; 4)$ и $(2; 0)$. 3. Проверим начало координат $O(0; 0)$: $$ 2 \cdot 0 + 0 = 0 \leq 4 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** полуплоскость, расположенная ниже (левее) прямой $y = -2x + 4$, включая саму прямую. --- 3) $|x| - 2y + 1 < 0$ Выразим переменную $y$: $$ -2y < -|x| - 1 \iff y > \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2} $$ 1. Граница области — график $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$. Неравенство строгое ($<$), поэтому границу проводим штриховой (пунктирной) линией. 2. График представляет собой угол с вершиной в точке $(0; 0{,}5)$, состоящий из двух лучей: - при $x \geq 0$: луч $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, проходящий через точки $(0; 0{,}5)$ и $(1; 1)$; - при $x < 0$: луч $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, проходящий через точки $(0; 0{,}5)$ и $(-1; 1)$. 3. Проверим точку $(0; 1)$: $$ |0| - 2 \cdot 1 + 1 = -1 < 0 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** часть плоскости, расположенная выше графика $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$, не включая саму границу. --- 4) $2|x| + y > 4$ Выразим переменную $y$: $$ y > -2|x| + 4 $$ 1. Граница области — график $y = -2|x| + 4$. Неравенство строгое ($>$), поэтому границу проводим пунктирной линией. 2. График представляет собой угол с вершиной в точке $(0; 4)$, направленный ветвями вниз: - при $x \geq 0$: луч $y = -2x + 4$, пересекает ось $Ox$ в точке $(2; 0)$; - при $x < 0$: луч $y = 2x + 4$, пересекает ось $Ox$ в точке $(-2; 0)$. 3. Проверим точку $(0; 5)$: $$ 2 \cdot |0| + 5 = 5 > 4 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** область плоскости, расположенная выше ломаной линии $y = -2|x| + 4$, не включая саму границу. --- 5) $y + x^2 \leq 2x$ Выразим переменную $y$: $$ y \leq -x^2 + 2x \iff y \leq -(x - 1)^2 + 1 $$ 1. Граница области — парабола $y = -x^2 + 2x$. Неравенство нестрогое ($\leq$), линия сплошная. 2. Характеристики параболы: - вершина находится в точке $(1; 1)$; - ветви направлены вниз; - точки пересечения с осью $Ox$: $(0; 0)$ и $(2; 0)$. 3. Проверим точку $(1; 0)$, лежащую под вершиной: $$ 0 \leq -(1 - 1)^2 + 1 \iff 0 \leq 1 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** область плоскости, расположенная под параболой $y = -x^2 + 2x$ (включая внутреннюю область параболы), вместе с самой параболой. --- 6) $y - x^2 + x > 1$ Выразим переменную $y$: $$ y > x^2 - x + 1 $$ 1. Граница области — парабола $y = x^2 - x + 1$. Неравенство строгое ($>$), линия пунктирная. 2. Характеристики параболы: - вершина имеет координаты: $$ x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}, \quad y_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} $$ - ветви направлены вверх; - контрольные точки: $(0; 1)$, $(1; 1)$, $(-1; 3)$, $(2; 3)$. 3. Проверим точку $(0; 2)$: $$ 2 > 0^2 - 0 + 1 \iff 2 > 1 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** внутренняя область параболы $y = x^2 - x + 1$ (область выше параболы), не включая саму параболу. --- 7) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \leq 4$ Выделим полные квадраты по $x$ и по $y$: $$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) \leq 4 + 1 + 4 $$ $$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 \leq 9 $$ 1. Граница области — окружность $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3^2$ с центром в точке $C(1; -2)$ и радиусом $R = 3$. Линия сплошная. 2. Проверим центр окружности $(1; -2)$: $$ (1 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 = 0 \leq 9 \quad \text{— верно.} $$ **Изображение фигуры:** круг с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом $R = 3$, включая граничную окружность. --- 8) $(x+1)^2 + (y-1)^2 > 4$ 1. Граница области — окружность $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$ с центром в точке $C(-1; 1)$ и радиусом $R = 2$. Неравенство строгое ($>$), поэтому границу чертим пунктирной линией. 2. Проверим центр окружности $(-1; 1)$: $$ (-1 + 1)^2 + (1 - 1)^2 = 0 > 4 \quad \text{— неверно.} $$ **Изображение фигуры:** вся часть координатной плоскости, лежащая вне круга с центром $(-1; 1)$ и радиусом $R = 2$, не включая саму окружность. --- 9) $xy \leq 2$ 1. Граница области — гипербола $xy = 2 \iff y = \frac{2}{x}$. Неравенство нестрогое ($\leq$), линия сплошная. 2. Гипербола расположена в I и III четвертях и проходит через точки $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(-1; -2)$, $(-2; -1)$. 3. Проверим точку $O(0; 0)$: $$ 0 \cdot 0 = 0 \leq 2 \quad \text{— верно.} $$ Точки оси ординат $x = 0$ также удовлетворяют неравенству, так как $0 \cdot y = 0 \leq 2$. 4. Разделение по знаку $x$: - при $x > 0$: $y \leq \frac{2}{x}$ (область ниже правой ветви гиперболы); - при $x < 0$: $y \geq \frac{2}{x}$ (область выше левой ветви гиперболы). **Изображение фигуры:** область плоскости, заключённая между ветвями гиперболы $y = \frac{2}{x}$ (содержащая начало координат и координатные оси), включая саму гиперболу. --- 10) $(x-2)y > 1$ 1. Граница области — гипербола $(x - 2)y = 1 \iff y = \frac{1}{x - 2}$. Неравенство строгое ($>$), линия пунктирная. 2. Асимптоты гиперболы: вертикальная прямая $x = 2$ и горизонтальная прямая $y = 0$ (ось $Ox$). Прямая $x = 2$ наносится пунктиром, так как при $x = 2$ получаем $0 > 1$ (неверно). 3. Точки ветвей гиперболы: - при $x > 2$: $(3; 1)$, $(4; 0{,}5)$, $(2{,}5; 2)$; - при $x < 2$: $(1; -1)$, $(0; -0{,}5)$, $(1{,}5; -2)$. 4. Разделим решение на два случая: - при $x - 2 > 0 \iff x > 2$: делим на $(x - 2) > 0$, знак неравенства сохраняется: $$ y > \frac{1}{x - 2} $$ (область выше правой ветви гиперболы); - при $x - 2 < 0 \iff x < 2$: делим на $(x - 2) < 0$, знак неравенства меняется: $$ y < \frac{1}{x - 2} $$ (область ниже левой ветви гиперболы). **Изображение фигуры:** объединение двух областей: область выше правой ветви гиперболы при $x > 2$ и область ниже левой ветви гиперболы при $x < 2$, не включая саму гиперболу и прямую $x = 2$.