ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.78

Чтобы задать многоугольник системой неравенств, составим уравнения прямых, содержащих его стороны, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $$ Затем определим знаки неравенств, подставив координаты внутренней точки многоугольника. --- ### 1) Треугольник с вершинами $A(-3; 4)$, $B(2; 1)$, $C(4; -2)$ 1. **Прямая $AB$:** $$ \frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 4}{1 - 4} \implies \frac{x + 3}{5} = \frac{y - 4}{-3} $$ $$ -3(x + 3) = 5(y - 4) \implies -3x - 9 = 5y - 20 \implies 3x + 5y = 11 $$ Подставим координаты точки $C(4; -2)$: $$ 3 \cdot 4 + 5 \cdot (-2) = 12 - 10 = 2 \leqslant 11 $$ Значит, треугольник лежит в полуплоскости $3x + 5y \leqslant 11$. 2. **Прямая $BC$:** $$ \frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 1}{-2 - 1} \implies \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{-3} $$ $$ -3(x - 2) = 2(y - 1) \implies -3x + 6 = 2y - 2 \implies 3x + 2y = 8 $$ Подставим координаты точки $A(-3; 4)$: $$ 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 4 = -9 + 8 = -1 \leqslant 8 $$ Значит, треугольник лежит в полуплоскости $3x + 2y \leqslant 8$. 3. **Прямая $AC$:** $$ \frac{x - (-3)}{4 - (-3)} = \frac{y - 4}{-2 - 4} \implies \frac{x + 3}{7} = \frac{y - 4}{-6} $$ $$ -6(x + 3) = 7(y - 4) \implies -6x - 18 = 7y - 28 \implies 6x + 7y = 10 $$ Подставим координаты точки $B(2; 1)$: $$ 6 \cdot 2 + 7 \cdot 1 = 12 + 7 = 19 \geqslant 10 $$ Значит, треугольник лежит в полуплоскости $6x + 7y \geqslant 10$. **Ответ:** $$ \begin{cases} 3x + 5y \leqslant 11, \\ 3x + 2y \leqslant 8, \\ 6x + 7y \geqslant 10. \end{cases} $$ --- ### 2) Четырёхугольник (ромб) с вершинами $A(-4; 0)$, $B(0; 5)$, $C(4; 0)$, $D(0; -5)$ Внутренней точкой фигуры является начало координат $O(0; 0)$. 1. **Прямая $AB$:** $$ \frac{x - (-4)}{0 - (-4)} = \frac{y - 0}{5 - 0} \implies \frac{x + 4}{4} = \frac{y}{5} \implies 5x - 4y = -20 $$ Подставим $O(0; 0)$: $5 \cdot 0 - 4 \cdot 0 = 0 \geqslant -20$. Неравенство: $5x - 4y \geqslant -20$. 2. **Прямая $BC$:** $$ \frac{x - 0}{4 - 0} = \frac{y - 5}{0 - 5} \implies \frac{x}{4} = \frac{y - 5}{-5} \implies 5x + 4y = 20 $$ Подставим $O(0; 0)$: $5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 \leqslant 20$. Неравенство: $5x + 4y \leqslant 20$. 3. **Прямая $CD$:** $$ \frac{x - 4}{0 - 4} = \frac{y - 0}{-5 - 0} \implies \frac{x - 4}{-4} = \frac{y}{-5} \implies 5x - 4y = 20 $$ Подставим $O(0; 0)$: $5 \cdot 0 - 4 \cdot 0 = 0 \leqslant 20$. Неравенство: $5x - 4y \leqslant 20$. 4. **Прямая $DA$:** $$ \frac{x - 0}{-4 - 0} = \frac{y - (-5)}{0 - (-5)} \implies \frac{x}{-4} = \frac{y + 5}{5} \implies 5x + 4y = -20 $$ Подставим $O(0; 0)$: $5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 \geqslant -20$. Неравенство: $5x + 4y \geqslant -20$. **Ответ:** $$ \begin{cases} 5x - 4y \geqslant -20, \\ 5x + 4y \leqslant 20, \\ 5x - 4y \leqslant 20, \\ 5x + 4y \geqslant -20. \end{cases} $$ *(или в виде двойных неравенств: $-20 \leqslant 5x - 4y \leqslant 20$ и $-20 \leqslant 5x + 4y \leqslant 20$)* --- ### 3) Пятиугольник с вершинами $A(-4; -1)$, $B(-2; 2)$, $C(2; 3)$, $D(4; 0)$, $E(1; -4)$ Внутренней точкой пятиугольника является точка $O(0; 0)$. 1. **Прямая $AB$:** $$ \frac{x - (-4)}{-2 - (-4)} = \frac{y - (-1)}{2 - (-1)} \implies \frac{x + 4}{2} = \frac{y + 1}{3} $$ $$ 3(x + 4) = 2(y + 1) \implies 3x - 2y = -10 $$ Подставим $O(0; 0)$: $3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0 \geqslant -10$. Неравенство: $3x - 2y \geqslant -10$. 2. **Прямая $BC$:** $$ \frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - 2}{3 - 2} \implies \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 2}{1} $$ $$ x + 2 = 4(y - 2) \implies x - 4y = -10 $$ Подставим $O(0; 0)$: $0 - 4 \cdot 0 = 0 \geqslant -10$. Неравенство: $x - 4y \geqslant -10$. 3. **Прямая $CD$:** $$ \frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 3}{0 - 3} \implies \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{-3} $$ $$ -3(x - 2) = 2(y - 3) \implies 3x + 2y = 12 $$ Подставим $O(0; 0)$: $3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \leqslant 12$. Неравенство: $3x + 2y \leqslant 12$. 4. **Прямая $DE$:** $$ \frac{x - 4}{1 - 4} = \frac{y - 0}{-4 - 0} \implies \frac{x - 4}{-3} = \frac{y}{-4} $$ $$ -4(x - 4) = -3y \implies 4x - 3y = 16 $$ Подставим $O(0; 0)$: $4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0 \leqslant 16$. Неравенство: $4x - 3y \leqslant 16$. 5. **Прямая $EA$:** $$ \frac{x - 1}{-4 - 1} = \frac{y - (-4)}{-1 - (-4)} \implies \frac{x - 1}{-5} = \frac{y + 4}{3} $$ $$ 3(x - 1) = -5(y + 4) \implies 3x + 5y = -17 $$ Подставим $O(0; 0)$: $3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0 \geqslant -17$. Неравенство: $3x + 5y \geqslant -17$. **Ответ:** $$ \begin{cases} 3x - 2y \geqslant -10, \\ x - 4y \geqslant -10, \\ 3x + 2y \leqslant 12, \\ 4x - 3y \leqslant 16, \\ 3x + 5y \geqslant -17. \end{cases} $$