ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.82

**1)** Решим систему неравенств: $$\begin{cases} x^{2}+y^{2}\leqslant4(x+y-1),\\ y\geqslant|x-2| \end{cases}$$ 1. Преобразуем первое неравенство: $$x^2 + y^2 \leqslant 4x + 4y - 4$$ Перенесём все слагаемые в левую часть и выделим полные квадраты: $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) - 4 \leqslant 0$$ $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leqslant 4$$ Это неравенство задаёт круг с границей (окружностью) радиуса $R = 2$ и центром в точке $C(2; 2)$. 2. Второе неравенство $y \geqslant |x - 2|$ задаёт часть плоскости, расположенную выше или на графике функции $y = |x - 2|$. График представляет собой угол с вершиной в точке $(2; 0)$ и лучами $y = 2 - x$ (при $x \leqslant 2$) и $y = x - 2$ (при $x \geqslant 2$). 3. Найдём точки пересечения границ областей: $$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4, \\ y = |x - 2| \end{cases}$$ Так как $(x - 2)^2 = y^2$, подставим это в уравнение окружности: $$y^2 + (y - 2)^2 = 4$$ $$y^2 + y^2 - 4y + 4 = 4$$ $$2y^2 - 4y = 0 \implies 2y(y - 2) = 0$$ Отсюда $y = 0$ или $y = 2$. - Если $y = 0$, то $|x - 2| = 0 \implies x = 2$. Получаем точку $(2; 0)$. - Если $y = 2$, то $|x - 2| = 2 \implies x = 0$ или $x = 4$. Получаем точки $(0; 2)$ и $(4; 2)$. 4. Множеством решений системы является замкнутая область, ограниченная: - снизу — отрезками ломаной $y = |x - 2|$ при $x \in [0; 4]$ (от точки $(0; 2)$ через $(2; 0)$ до точки $(4; 2)$); - сверху — дугой окружности $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$, проходящей через точки $(0; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; 2)$. **Ответ:** замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу ломаной $y = |x - 2|$ на отрезке $x \in [0; 4]$, а сверху — верхней дугой окружности $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ между точками $(0; 2)$ и $(4; 2)$. --- **2)** Решим систему неравенств: $$\begin{cases} |x-y|\leqslant2,\\ (x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\leqslant0 \end{cases}$$ 1. Упростим второе неравенство системы. Область допустимых значений: $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Приведём дробь в скобках к общему знаменателю: $$(x+y) \cdot \frac{x+y}{xy} \leqslant 0 \iff \frac{(x+y)^2}{xy} \leqslant 0$$ Поскольку $(x+y)^2 \geqslant 0$ для любых действительных чисел: - Если $x + y = 0$ (то есть $y = -x$ при $x \ne 0$), числитель равен нулю, а знаменатель $xy = -x^2 < 0$, следовательно, дробь равна $0 \leqslant 0$ — неравенство выполняется. - Если $x + y \ne 0$, то $(x+y)^2 > 0$, и для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго отрицательным: $$xy < 0$$ В обоих случаях второе неравенство равносильно условию: $$xy < 0$$ Это означает, что точки $(x; y)$ должны лежать во II четверти ($x < 0, y > 0$) или в IV четверти ($x > 0, y < 0$), исключая координатные оси. 2. Раскроем первое неравенство $|x - y| \leqslant 2$: $$-2 \leqslant x - y \leqslant 2 \iff x - 2 \leqslant y \leqslant x + 2$$ Это полоса на плоскости, заключённая между параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 2$ (включая сами прямые). 3. Найдём пересечение полосы с четвертями, где $xy < 0$: - Во II четверти ($x < 0, y > 0$): Так как $x < 0$ и $y > 0$, неравенство $y \geqslant x - 2$ выполняется автоматически ($y > 0 > -2 > x - 2$). Остаётся условие $y \leqslant x + 2$. С учётом $y > 0$ получаем $0 < y \leqslant x + 2$, откуда $x > -2$. Это внутренность треугольника с вершинами $(-2; 0)$, $(0; 0)$ и $(0; 2)$, включая сторону $y = x + 2$ при $x \in [-2; 0]$, но без сторон, лежащих на осях координат. - В IV четверти ($x > 0, y < 0$): Так как $x > 0$ и $y < 0$, неравенство $y \leqslant x + 2$ выполняется автоматически. Остаётся условие $y \geqslant x - 2$. С учётом $y < 0$ получаем $x - 2 \leqslant y < 0$, откуда $x < 2$. Это внутренность треугольника с вершинами $(0; 0)$, $(2; 0)$ и $(0; -2)$, включая сторону $y = x - 2$ при $x \in [0; 2]$, но без сторон, лежащих на осях координат. **Ответ:** объединение двух треугольных областей: - во II четверти: $-2 < x < 0$, $0 < y \leqslant x + 2$; - в IV четверти: $0 < x < 2$, $x - 2 \leqslant y < 0$.