ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.40

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = a \end{cases} $$ Выразим переменную $y$ из второго уравнения системы: $y = x - a$. Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + (x - a)^2 = a $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ x^2 + x^2 - 2ax + a^2 = a $$ $$ 2x^2 - 2ax + (a^2 - a) = 0 $$ Получили квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами $A = 2$, $B = -2a$, $C = a^2 - a$. Так как $A \neq 0$, уравнение всегда является квадратным. Каждому найденному значению $x$ соответствует единственное значение $y = x - a$. Следовательно, исходная система уравнений имеет только одно решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант $D$ равен нулю. Найдём дискриминант: $$ D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - a) $$ $$ D = 4a^2 - 8(a^2 - a) = 4a^2 - 8a^2 + 8a = -4a^2 + 8a $$ Приравняем дискриминант к нулю: $$ -4a^2 + 8a = 0 $$ $$ -4a(a - 2) = 0 $$ Отсюда: $a_1 = 0$ или $a_2 = 2$. Проверим найденные значения: 1) При $a = 0$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} $$ Уравнение $x^2 + y^2 = 0$ имеет единственное действительное решение $(0; 0)$. Подставив его во второе уравнение, получаем $0 - 0 = 0$ — верное равенство. Система имеет ровно одно решение $(0; 0)$. 2) При $a = 2$: Квадратное уравнение принимает вид: $$ 2x^2 - 4x + 2 = 0 $$ $$ 2(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1 $$ Тогда $y = 1 - 2 = -1$. Система имеет ровно одно решение $(1; -1)$. Ответ: $a = 0$; $a = 2$.