ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.57

**а)** В условии под записью понимается число, составленное из $2004$ семёрок: $\underbrace{77\dots 7}_{2004}$ (либо его произведение на $3$). Число называется составным, если оно больше $1$ и может быть представлено в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых строго больше $1$. Представим данное число в виде произведения: $$ \underbrace{77\dots 7}_{2004} = 7 \cdot \underbrace{11\dots 1}_{2004} $$ Множители $7$ и $\underbrace{11\dots 1}_{2004}$ — натуральные числа, и каждый из них больше $1$ ($7 > 1$ и $\underbrace{11\dots 1}_{2004} > 1$). Если число дополнительно умножается на $3$, то есть рассматривается $\underbrace{77\dots 7}_{2004} \cdot 3$: $$ \underbrace{77\dots 7}_{2004} \cdot 3 = 21 \cdot \underbrace{11\dots 1}_{2004} $$ Оно также представимо в виде произведения натуральных чисел, больших $1$ (делится на $3$, $7$, $21$). Также можно применить признак делимости на $3$: сумма цифр числа равна $7 \cdot 2004$. Так как число $2004$ делится на $3$ (сумма его цифр $2 + 0 + 0 + 4 = 6$ делится на $3$), то и сумма цифр исходного числа делится на $3$. Значит, само число делится на $3$ и при этом строго больше $3$. Следовательно, число является составным. --- **б)** Рассмотрим число $100^{100}-1$. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ 100^{100} - 1 = (100^{50})^2 - 1^2 = (100^{50} - 1)(100^{50} + 1) $$ Оценим каждый из полученных множителей: 1. $100^{50} - 1 > 1$, так как $100^{50} > 2$; 2. $100^{50} + 1 > 1$. Число $100^{100} - 1$ разложено на два натуральных множителя, каждый из которых строго больше $1$. Следовательно, число $100^{100}-1$ является составным.