ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.56

Пусть $N$ — произвольное четырехзначное число. По определению четырехзначного числа: $$ 1000 \le N \le 9999 < 10000 $$ Докажем утверждение методом от противного. 1. Предположим, что число $N$ не является простым, то есть является составным. 2. Любое составное число $N$ раскладывается на простые множители и имеет как минимум два простых делителя (не обязательно различных): $$ N = p_1 \cdot p_2 \dots p_k, \quad \text{где } k \ge 2 $$ Пусть $p$ — наименьший простой делитель числа $N$. Тогда: $$ N \ge p \cdot p = p^2 $$ Отсюда следует, что наименьший простой делитель любого составного числа удовлетворяет неравенству: $$ p \le \sqrt{N} $$ 3. Так как для любого четырехзначного числа $N < 10000$, оценим значение $\sqrt{N}$: $$ \sqrt{N} < \sqrt{10000} = 100 $$ Следовательно: $$ p < 100 $$ Значит, если бы число $N$ было составным, оно обязательно имело бы хотя бы один простой делитель, меньший 100. 4. Однако по условию задачи число $N$ не имеет простых делителей, меньших, чем 100. Полученное противоречие опровергает предположение о том, что число $N$ составное. Следовательно, четырехзначное число $N$ является простым, что и требовалось доказать.