ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.55

По условию задачи график функции лежит в промежутке $0 \leqslant y \leqslant 1$, следовательно, необходимо решить двойное неравенство: $$ 0 \leqslant \frac{x - 13}{x^2 + x - 6} \leqslant 1 $$ Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств: $$ \begin{cases} \dfrac{x - 13}{x^2 + x - 6} \geqslant 0, \\[2ex] \dfrac{x - 13}{x^2 + x - 6} \leqslant 1. \end{cases} $$ Разложим знаменатель дроби на линейные множители: $x^2 + x - 6 = 0 \implies x_1 = -3, \; x_2 = 2$, поэтому $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. **1. Решим первое неравенство системы:** $$ \frac{x - 13}{(x + 3)(x - 2)} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: - Нули числителя: $x = 13$; - Нули знаменателя: $x = -3$, $x = 2$ (точки выколоты, так как знаменатель не может быть равен нулю). Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения на получившихся интервалах: - при $x \in (13; +\infty)$: выражение положительно ($+$); - при $x \in (2; 13)$: выражение отрицательно ($-$) ; - при $x \in (-3; 2)$: выражение положительно ($+$); - при $x \in (-\infty; -3)$: выражение отрицательно ($-$). Так как неравенство нестрогое ($\geqslant 0$), точка $x = 13$ входит в решение: $$ x \in (-3; 2) \cup [13; +\infty) $$ **2. Решим второе неравенство системы:** $$ \frac{x - 13}{x^2 + x - 6} \leqslant 1 $$ Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{x - 13}{x^2 + x - 6} - 1 \leqslant 0 $$ $$ \frac{x - 13 - (x^2 + x - 6)}{x^2 + x - 6} \leqslant 0 $$ $$ \frac{x - 13 - x^2 - x + 6}{x^2 + x - 6} \leqslant 0 $$ $$ \frac{-x^2 - 7}{x^2 + x - 6} \leqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x^2 + 7}{x^2 + x - 6} \geqslant 0 $$ Так как числитель $x^2 + 7 > 0$ при любых действительных значениях $x$, знак всей дроби совпадает со знаком знаменателя: $$ x^2 + x - 6 > 0 $$ $$ (x + 3)(x - 2) > 0 $$ Решением этого квадратного неравенства являются интервалы: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) $$ **3. Найдем общее решение системы:** $$ \begin{cases} x \in (-3; 2) \cup [13; +\infty), \\ x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty). \end{cases} $$ Интервал $(-3; 2)$ не пересекается с множеством $(-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$. Промежуток $[13; +\infty)$ полностью входит в интервал $(2; +\infty)$. Таким образом, пересечением решений обоих неравенств является: $$ x \in [13; +\infty) $$ Ответ: $[13; +\infty)$ (или $x \geqslant 13$).