ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.53

По условию уравнение четвёртой степени имеет три равных целых корня. Обозначим этот трёхкратный корень через $k$ ($k \in \mathbb{Z}$), а четвёртый корень через $c$. Тогда левую часть уравнения можно представить в виде произведения множителей: $$ (x - k)^3 (x - c) = 0 $$ Раскроем скобки в левой части: $$ (x - k)^3 = x^3 - 3kx^2 + 3k^2x - k^3 $$ $$ (x^3 - 3kx^2 + 3k^2x - k^3)(x - c) = x^4 - (3k + c)x^3 + (3k^2 + 3ck)x^2 - (3ck^2 + k^3)x + ck^3 $$ Сравним полученные коэффициенты с коэффициентами исходного уравнения $x^4 + x^3 - 18x^2 + ax + b = 0$: $$ \begin{cases} -(3k + c) = 1 \\ 3k^2 + 3ck = -18 \\ a = -(3ck^2 + k^3) \\ b = ck^3 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $c$: $$ c = -1 - 3k $$ Разделим второе уравнение на $3$: $$ k^2 + ck = -6 $$ Подставим выражение для $c$: $$ k^2 + (-1 - 3k)k = -6 $$ $$ k^2 - k - 3k^2 + 6 = 0 $$ $$ -2k^2 - k + 6 = 0 $$ $$ 2k^2 + k - 6 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $k$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $$ $$ k_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1{,}5 $$ $$ k_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $$ Так как по условию корень $k$ должен быть целым числом, значение $k_1 = 1{,}5$ не подходит. Значит, $k = -2$. Найдём значение $c$: $$ c = -1 - 3 \cdot (-2) = -1 + 6 = 5 $$ Теперь найдём значения параметров $a$ и $b$: $$ a = -(3 \cdot 5 \cdot (-2)^2 + (-2)^3) = -(3 \cdot 5 \cdot 4 - 8) = -(60 - 8) = -52 $$ $$ b = 5 \cdot (-2)^3 = 5 \cdot (-8) = -40 $$ Ответ: $a = -52$, $b = -40$.