ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.50

### 1) $28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0$ Представим слагаемое $28x^3$ в виде суммы $27x^3 + x^3$: $$ (27x^3) + (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 0 $$ Заметим, что выражение в первой скобке является кубом одночлена $(3x)^3$, а во второй скобке — формулой куба суммы $(x + 1)^3$: $$ (3x)^3 + (x + 1)^3 = 0 $$ Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ (3x + x + 1)\left((3x)^2 - 3x(x + 1) + (x + 1)^2\right) = 0 $$ Упростим выражения в скобках: $$ (4x + 1)(9x^2 - 3x^2 - 3x + x^2 + 2x + 1) = 0 $$ $$ (4x + 1)(7x^2 - x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -\frac{1}{4} = -0{,}25$; 2. $7x^2 - x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 1 - 28 = -27 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, это уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $-\frac{1}{4}$. --- ### 2) $126x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$ Представим слагаемое $126x^3$ как $125x^3 + x^3$: $$ (125x^3) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 $$ Выделим кубы выражений: $125x^3 = (5x)^3$, а $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$: $$ (5x)^3 + (x - 1)^3 = 0 $$ Применим формулу суммы кубов: $$ (5x + x - 1)\left((5x)^2 - 5x(x - 1) + (x - 1)^2\right) = 0 $$ Приведем подобные слагаемые во второй скобке: $$ (6x - 1)(25x^2 - 5x^2 + 5x + x^2 - 2x + 1) = 0 $$ $$ (6x - 1)(21x^2 + 3x + 1) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $6x - 1 = 0 \implies 6x = 1 \implies x = \frac{1}{6}$; 2. $21x^2 + 3x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 21 \cdot 1 = 9 - 84 = -75 < 0$. Действительных корней нет. Ответ: $\frac{1}{6}$. --- ### 3) $(x^2 + 4x)(x^2 - 6x + 8) = (x^3 - 16x)(x^2 + 2x - 8)$ Разложим каждый многочлен на множители: - $x^2 + 4x = x(x + 4)$; - $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$ (по теореме Виета корни $2$ и $4$); - $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)$; - $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$ (по теореме Виета корни $-4$ и $2$). Подставим полученные разложения в исходное уравнение: $$ x(x + 4)(x - 2)(x - 4) = x(x - 4)(x + 4)(x + 4)(x - 2) $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x(x + 4)(x - 2)(x - 4) - x(x + 4)^2(x - 2)(x - 4) = 0 $$ Вынесем общий множитель $x(x + 4)(x - 2)(x - 4)$ за скобки: $$ x(x + 4)(x - 2)(x - 4)\left(1 - (x + 4)\right) = 0 $$ $$ x(x + 4)(x - 2)(x - 4)(1 - x - 4) = 0 $$ $$ -x(x + 4)(x - 2)(x - 4)(x + 3) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $x = 0$ 2. $x + 4 = 0 \implies x = -4$ 3. $x - 2 = 0 \implies x = 2$ 4. $x - 4 = 0 \implies x = 4$ 5. $x + 3 = 0 \implies x = -3$ Ответ: $-4; -3; 0; 2; 4$. --- ### 4) $(x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28) = (x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)$ Разложим на множители многочлены, входящие в уравнение: - $x^2 + 5x = x(x + 5)$; - $x^2 - 3x - 28 = (x - 7)(x + 4)$ (корни $7$ и $-4$); - $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)$; - $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x + 5)$ (корни $7$ и $-5$). Подставим разложения в уравнение: $$ x(x + 5)(x - 7)(x + 4) = x(x - 4)(x + 4)(x - 7)(x + 5) $$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ x(x + 5)(x - 7)(x + 4) - x(x - 4)(x + 4)(x - 7)(x + 5) = 0 $$ Вынесем общий множитель $x(x + 5)(x - 7)(x + 4)$ за скобки: $$ x(x + 5)(x - 7)(x + 4)\left(1 - (x - 4)\right) = 0 $$ $$ x(x + 5)(x - 7)(x + 4)(1 - x + 4) = 0 $$ $$ x(x + 5)(x - 7)(x + 4)(5 - x) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $x = 0$ 2. $x + 5 = 0 \implies x = -5$ 3. $x - 7 = 0 \implies x = 7$ 4. $x + 4 = 0 \implies x = -4$ 5. $5 - x = 0 \implies x = 5$ Ответ: $-5; -4; 0; 5; 7$.