ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / упражнение - 0.16

1) Сравним числа $\sqrt{14}$ и $\sqrt{6} + \sqrt{8}$. Оба числа положительны, поэтому возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{14})^2 = 14 $$ $$ (\sqrt{6} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6 \cdot 8} + (\sqrt{8})^2 = 6 + 2\sqrt{48} + 8 = 14 + 2\sqrt{48} $$ Так как $2\sqrt{48} > 0$, получаем: $$ 14 < 14 + 2\sqrt{48} $$ Следовательно: $$ \sqrt{14} < \sqrt{6} + \sqrt{8} $$ 2) Сравним числа $7 - \sqrt{2}$ и $5 + \sqrt{2}$. Составим их разность: $$ (7 - \sqrt{2}) - (5 + \sqrt{2}) = 7 - \sqrt{2} - 5 - \sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} = 2(1 - \sqrt{2}) $$ Так как $\sqrt{2} > 1$, то $1 - \sqrt{2} < 0$, а значит, и вся разность отрицательна: $$ 2 - 2\sqrt{2} < 0 $$ Следовательно: $$ 7 - \sqrt{2} < 5 + \sqrt{2} $$ 3) Сравним числа $\sqrt{15} - 2$ и $\sqrt{3} + 2$. Оценим каждое из чисел: * Так как $15 < 16$, то $\sqrt{15} < \sqrt{16} = 4$. Тогда: $$ \sqrt{15} - 2 < 4 - 2 = 2 $$ * Так как $\sqrt{3} > 0$, то: $$ \sqrt{3} + 2 > 2 $$ Получаем, что $\sqrt{15} - 2 < 2 < \sqrt{3} + 2$. Следовательно: $$ \sqrt{15} - 2 < \sqrt{3} + 2 $$ 4) Сравним числа $\sqrt{10}$ и $\sqrt{20} - \sqrt{5}$. Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $$ \sqrt{20} - \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5} $$ Сравним $\sqrt{10}$ и $\sqrt{5}$. Так как $10 > 5$, то: $$ \sqrt{10} > \sqrt{5} $$ Следовательно: $$ \sqrt{10} > \sqrt{20} - \sqrt{5} $$ **Ответ:** 1) $\sqrt{14} < \sqrt{6} + \sqrt{8}$; 2) $7 - \sqrt{2} < 5 + \sqrt{2}$; 3) $\sqrt{15} - 2 < \sqrt{3} + 2$; 4) $\sqrt{10} > \sqrt{20} - \sqrt{5}$.