ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 9

По определению деления многочлена с остатком равенство имеет вид: $$ P(x) = Q(x) \cdot M(x) + R(x) $$ где степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $Q(x)$. Отсюда выразим делитель $Q(x)$: $$ Q(x) \cdot M(x) = P(x) - R(x) $$ $$ Q(x) = \frac{P(x) - R(x)}{M(x)} $$ **1)** $P(x) = x^2 - 5x + 6$, $M(x) = x - 9$, $R(x) = 42$. Найдем разность $P(x) - R(x)$: $$ P(x) - R(x) = (x^2 - 5x + 6) - 42 = x^2 - 5x - 36 $$ Разделим полученный многочлен на $M(x) = x - 9$, разложив числитель на множители: $$ x^2 - 5x - 36 = (x - 9)(x + 4) $$ Тогда: $$ Q(x) = \frac{(x - 9)(x + 4)}{x - 9} = x + 4 $$ Степень остатка $R(x)$ равна $0$, а степень $Q(x)$ равна $1$, условие $\deg R(x) < \deg Q(x)$ выполняется. Ответ: $Q(x) = x + 4$. --- **2)** $P(x) = 2x^3 - 3x + 5$, $M(x) = 2x - 4$, $R(x) = 5x + 5$. Найдем разность $P(x) - R(x)$: $$ P(x) - R(x) = (2x^3 - 3x + 5) - (5x + 5) = 2x^3 - 8x $$ Разложим полученное выражение на множители: $$ 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2) $$ Запишем $M(x) = 2(x - 2)$ и найдем $Q(x)$: $$ Q(x) = \frac{2x(x - 2)(x + 2)}{2(x - 2)} = x(x + 2) = x^2 + 2x $$ Степень остатка $R(x)$ равна $1$, а степень $Q(x)$ равна $2$, условие $\deg R(x) < \deg Q(x)$ выполняется. Ответ: $Q(x) = x^2 + 2x$. --- **3)** $P(x) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 3$, $M(x) = 2x^2 - 5$, $R(x) = x^2 + 3$. Найдем разность $P(x) - R(x)$: $$ P(x) - R(x) = (2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 9x^2 + 3) - (x^2 + 3) = 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 10x^2 $$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $$ 2x^5 + 4x^4 - 5x^3 - 10x^2 = 2x^4(x + 2) - 5x^2(x + 2) = (x + 2)(2x^4 - 5x^2) = x^2(x + 2)(2x^2 - 5) $$ Разделим полученный многочлен на $M(x) = 2x^2 - 5$: $$ Q(x) = \frac{(2x^2 - 5)(x^3 + 2x^2)}{2x^2 - 5} = x^3 + 2x^2 $$ Степень остатка $R(x)$ равна $2$, а степень $Q(x)$ равна $3$, условие $\deg R(x) < \deg Q(x)$ выполняется. Ответ: $Q(x) = x^3 + 2x^2$. --- **4)** $P(x) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1$, $M(x) = 5x^3 + 2$, $R(x) = 2x - 1$. Найдем разность $P(x) - R(x)$: $$ P(x) - R(x) = (15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 1) - (2x - 1) = 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 2x $$ Сгруппируем слагаемые: $$ 15x^6 - 5x^4 + 6x^3 - 2x = (15x^6 + 6x^3) - (5x^4 + 2x) = 3x^3(5x^3 + 2) - x(5x^3 + 2) = (5x^3 + 2)(3x^3 - x) $$ Разделим полученный многочлен на $M(x) = 5x^3 + 2$: $$ Q(x) = \frac{(5x^3 + 2)(3x^3 - x)}{5x^3 + 2} = 3x^3 - x $$ Степень остатка $R(x)$ равна $1$, а степень $Q(x)$ равна $3$, условие $\deg R(x) < \deg Q(x)$ выполняется. Ответ: $Q(x) = 3x^3 - x$.