ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 6

1) Выполним деление многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$: $$ \begin{array}{r|l} \begin{array}{rrrrrr} 8x^5 & + 2x^4 & - 10x^3 & - 15x^2 & & \\ 8x^5 & & - 10x^3 & & & \\ \hline & 2x^4 & & - 15x^2 & & \\ & 2x^4 & & - \frac{5}{2}x^2 & & \\ \hline & & & - \frac{25}{2}x^2 & & \\ & & & - \frac{25}{2}x^2 & & + \frac{125}{8} \\ \hline & & & & & - \frac{125}{8} \end{array} & \begin{array}{l} 4x^2 - 5 \\ \hline 2x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{25}{8} \end{array} \end{array} $$ Так как остаток равен $-\frac{125}{8} \neq 0$, многочлен $P(x)$ не делится нацело на многочлен $Q(x)$. Ответ: не делится нацело. --- 2) Выполним деление многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$: $$ \begin{array}{r|l} \begin{array}{rrrrr} 3x^5 & + x^4 & - 6x^3 & & + 7x \\ 3x^5 & + x^4 & & & \\ \hline & & - 6x^3 & & + 7x \\ & & - 6x^3 & - 2x^2 & \\ \hline & & & 2x^2 & + 7x \\ & & & 2x^2 & + \frac{2}{3}x \\ \hline & & & & \frac{19}{3}x \end{array} & \begin{array}{l} 3x^2 + x \\ \hline x^3 - 2x + \frac{2}{3} \end{array} \end{array} $$ Степень полученного остатка $\frac{19}{3}x$ равна $1$, что меньше степени делителя $3x^2 + x$ (степень 2). Так как остаток $\frac{19}{3}x \neq 0$, многочлен $P(x)$ не делится нацело на многочлен $Q(x)$. Ответ: не делится нацело. --- 3) Выполним деление многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$: $$ \begin{array}{r|l} \begin{array}{rrrrr} x^6 & & - 4x^4 & & + 6x \\ x^6 & - 2x^5 & & & \\ \hline & 2x^5 & - 4x^4 & & + 6x \\ & 2x^5 & - 4x^4 & & \\ \hline & & & & 6x \end{array} & \begin{array}{l} x^2 - 2x \\ \hline x^4 + 2x^3 \end{array} \end{array} $$ Степень остатка $6x$ равна $1$, что меньше степени делителя $x^2 - 2x$ (степень 2). Так как остаток $6x \neq 0$, многочлен $P(x)$ не делится нацело на многочлен $Q(x)$. Ответ: не делится нацело. --- 4) Выполним деление многочлена $P(x)$ на многочлен $Q(x)$: $$ \begin{array}{r|l} \begin{array}{rrrrrr} x^6 & & - 3x^4 & - x^3 & + 2x^2 & + x \\ x^6 & + 2x^5 & + x^4 & & & \\ \hline & - 2x^5 & - 4x^4 & - x^3 & + 2x^2 & + x \\ & - 2x^5 & - 4x^4 & - 2x^3 & & \\ \hline & & & x^3 & + 2x^2 & + x \\ & & & x^3 & + 2x^2 & + x \\ \hline & & & & & 0 \end{array} & \begin{array}{l} x^3 + 2x^2 + x \\ \hline x^3 - 2x^2 + 1 \end{array} \end{array} $$ Остаток от деления равен $0$, то есть: $$ x^6 - 3x^4 - x^3 + 2x^2 + x = (x^3 + 2x^2 + x)(x^3 - 2x^2 + 1) $$ Следовательно, многочлен $P(x)$ делится нацело на многочлен $Q(x)$. Ответ: делится нацело.