ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 10

**1)** Решим уравнение: $$ x^3 - x^2 - 8x + 6 = 0 $$ Найдем один из корней подбором среди делителей свободного члена $6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим значение $x = 3$: $$ 3^3 - 3^2 - 8 \cdot 3 + 6 = 27 - 9 - 24 + 6 = 0 $$ Значит, $x = 3$ — корень уравнения, и многочлен делится на $(x - 3)$ без остатка. Разложим многочлен на множители способом группировки: $$ x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 6x - 2x + 6 = 0 $$ $$ x^2(x - 3) + 2x(x - 3) - 2(x - 3) = 0 $$ $$ (x - 3)(x^2 + 2x - 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ 2) $x^2 + 2x - 2 = 0$ Решим квадратное уравнение: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3} $$ $$ x_2 = -1 + \sqrt{3}, \quad x_3 = -1 - \sqrt{3} $$ **Ответ:** $3; \; -1 + \sqrt{3}; \; -1 - \sqrt{3}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4 = 0 $$ Найдем целые корни среди делителей свободного члена $4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Проверим $x = 1$: $$ 1^4 + 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 4 = 1 + 1 - 4 - 2 + 4 = 0 $$ Значит, $x = 1$ — корень. Проверим $x = -2$: $$ (-2)^4 + (-2)^3 - 4 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 4 = 16 - 8 - 16 + 4 + 4 = 0 $$ Значит, $x = -2$ — также корень. Следовательно, многочлен делится на $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$. Разложим левую часть уравнения: $$ (x^4 + x^3 - 2x^2) - (2x^2 + 2x - 4) = 0 $$ $$ x^2(x^2 + x - 2) - 2(x^2 + x - 2) = 0 $$ $$ (x^2 + x - 2)(x^2 - 2) = 0 $$ $$ (x - 1)(x + 2)(x^2 - 2) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ 2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ 3) $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x_{3, 4} = \pm\sqrt{2}$ **Ответ:** $-2; \; 1; \; -\sqrt{2}; \; \sqrt{2}$. --- **3)** Решим уравнение: $$ 6x^3 + 11x^2 - 3x - 2 = 0 $$ Проверим делители свободного члена $-2$: $\pm 1, \pm 2$. Подставим $x = -2$: $$ 6(-2)^3 + 11(-2)^2 - 3(-2) - 2 = 6 \cdot (-8) + 11 \cdot 4 + 6 - 2 = -48 + 44 + 6 - 2 = 0 $$ Значит, $x = -2$ — корень уравнения. Разложим многочлен на множители, выделив $(x + 2)$: $$ 6x^3 + 12x^2 - x^2 - 2x - x - 2 = 0 $$ $$ 6x^2(x + 2) - x(x + 2) - 1(x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(6x^2 - x - 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$ 2) $6x^2 - x - 1 = 0$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 $$ $$ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12} $$ $$ x_2 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$ $$ x_3 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $-2; \; -\frac{1}{3}; \; \frac{1}{2}$. --- **4)** Решим уравнение: $$ 4x^4 - 8x^3 + 3x^2 + 2x - 1 = 0 $$ Проверим делители свободного члена $-1$: $\pm 1$. Подставим $x = 1$: $$ 4 \cdot 1^4 - 8 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 4 - 8 + 3 + 2 - 1 = 0 $$ Значит, $x = 1$ — корень уравнения. Выделим множитель $(x - 1)$: $$ 4x^4 - 4x^3 - 4x^3 + 4x^2 - x^2 + x + x - 1 = 0 $$ $$ 4x^3(x - 1) - 4x^2(x - 1) - x(x - 1) + 1(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(4x^3 - 4x^2 - x + 1) = 0 $$ Разложим на множители кубический многочлен во второй скобке методом группировки: $$ 4x^3 - 4x^2 - x + 1 = 4x^2(x - 1) - 1(x - 1) = (x - 1)(4x^2 - 1) $$ Подставим обратно в уравнение: $$ (x - 1)(x - 1)(4x^2 - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)^2 (2x - 1)(2x + 1) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $(x - 1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$ 2) $2x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}$ 3) $2x + 1 = 0 \implies x_3 = -\frac{1}{2}$ **Ответ:** $-\frac{1}{2}; \; \frac{1}{2}; \; 1$.