ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 11

**1)** $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$ Найдем один из корней среди целых делителей свободного члена $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = 3$: $$ 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 6 = 27 - 45 + 24 - 6 = 0 $$ Число $3$ является корнем уравнения. Разложим левую часть на множители, выделив двучлен $(x - 3)$: $$ x^3 - 3x^2 - 2x^2 + 6x + 2x - 6 = 0 $$ $$ x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + 2(x - 3) = 0 $$ $$ (x - 3)(x^2 - 2x + 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $x - 3 = 0 \implies x = 3$; 2. $x^2 - 2x + 2 = 0$ Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $$ Так как $D < 0$, действительных корней квадратное уравнение не имеет. Ответ: $3$. --- **2)** $9x^3 + 12x^2 - 10x + 4 = 0$ Найдем корень среди делителей свободного члена $4$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Проверим $x = -2$: $$ 9 \cdot (-2)^3 + 12 \cdot (-2)^2 - 10 \cdot (-2) + 4 = 9 \cdot (-8) + 12 \cdot 4 + 20 + 4 = -72 + 48 + 24 = 0 $$ Значит, $x = -2$ — корень уравнения. Разложим многочлен на множители, группируя слагаемые: $$ 9x^3 + 18x^2 - 6x^2 - 12x + 2x + 4 = 0 $$ $$ 9x^2(x + 2) - 6x(x + 2) + 2(x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(9x^2 - 6x + 2) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$; 2. $9x^2 - 6x + 2 = 0$ Вычислим дискриминант: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 36 - 72 = -36 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $-2$. --- **3)** $x^4 + x^3 - 5x^2 + x - 6 = 0$ Найдем корень уравнения среди делителей свободного члена $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = 2$: $$ 2^4 + 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 2 - 6 = 16 + 8 - 20 + 2 - 6 = 0 $$ Значит, $x = 2$ является корнем. Сгруппируем слагаемые, выделяя множитель $(x - 2)$: $$ x^4 - 2x^3 + 3x^3 - 6x^2 + x^2 - 2x + 3x - 6 = 0 $$ $$ x^3(x - 2) + 3x^2(x - 2) + x(x - 2) + 3(x - 2) = 0 $$ $$ (x - 2)(x^3 + 3x^2 + x + 3) = 0 $$ Разложим многочлен во второй скобке методом группировки: $$ x^3 + 3x^2 + x + 3 = x^2(x + 3) + 1 \cdot (x + 3) = (x + 3)(x^2 + 1) $$ Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $$ (x - 2)(x + 3)(x^2 + 1) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$; 2. $x + 3 = 0 \implies x = -3$; 3. $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ — действительных корней нет, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Ответ: $-3;\ 2$. --- **4)** $2x^4 - 2x^3 - 11x^2 - x - 6 = 0$ Проверим делители свободного члена $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = -2$: $$ 2 \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 - 11 \cdot (-2)^2 - (-2) - 6 = 2 \cdot 16 - 2 \cdot (-8) - 11 \cdot 4 + 2 - 6 = 32 + 16 - 44 + 2 - 6 = 0 $$ Значит, $x = -2$ — корень уравнения. Выделим множитель $(x + 2)$: $$ 2x^4 + 4x^3 - 6x^3 - 12x^2 + x^2 + 2x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x^3(x + 2) - 6x^2(x + 2) + x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(2x^3 - 6x^2 + x - 3) = 0 $$ Разложим выражение во второй скобке способом группировки: $$ 2x^3 - 6x^2 + x - 3 = 2x^2(x - 3) + 1 \cdot (x - 3) = (x - 3)(2x^2 + 1) $$ Получаем уравнение: $$ (x + 2)(x - 3)(2x^2 + 1) = 0 $$ Приравниваем множители к нулю: 1. $x + 2 = 0 \implies x = -2$; 2. $x - 3 = 0 \implies x = 3$; 3. $2x^2 + 1 = 0 \implies 2x^2 = -1 \implies x^2 = -\frac{1}{2}$ — действительных корней нет. Ответ: $-2;\ 3$.