ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 12

1) Разложим на множители многочлен $6x^3 - 25x^2 + 3x + 4$. Найдем корень многочлена среди делителей свободного члена, деленных на делители старшего коэффициента. Проверим $x = 4$: $$ 6 \cdot 4^3 - 25 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 4 = 6 \cdot 64 - 25 \cdot 16 + 12 + 4 = 384 - 400 + 16 = 0 $$ Так как $x = 4$ является корнем, многочлен делится на $(x - 4)$. Выделим этот множитель с помощью группировки слагаемых: $$ 6x^3 - 25x^2 + 3x + 4 = 6x^3 - 24x^2 - x^2 + 4x - x + 4 = $$ $$ = 6x^2(x - 4) - x(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(6x^2 - x - 1) $$ Разложим квадратный трёхчлен $6x^2 - x - 1$ на множители. Найдем его корни: $$ 6x^2 - x - 1 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{1}{3} $$ Тогда: $$ 6x^2 - x - 1 = 6\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) = (2x - 1)(3x + 1) $$ Следовательно: $$ 6x^3 - 25x^2 + 3x + 4 = (x - 4)(2x - 1)(3x + 1) $$ **Ответ:** $(x - 4)(2x - 1)(3x + 1)$. --- 2) Разложим на множители многочлен $4x^3 + 12x^2 - 3x - 9$. Применим метод группировки: сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым: $$ 4x^3 + 12x^2 - 3x - 9 = (4x^3 + 12x^2) - (3x + 9) = $$ $$ = 4x^2(x + 3) - 3(x + 3) = (x + 3)(4x^2 - 3) $$ При необходимости разложения на линейные множители над действительными числами применим формулу разности квадратов к двучлену $4x^2 - 3 = (2x - \sqrt{3})(2x + \sqrt{3})$: $$ (x + 3)(4x^2 - 3) = (x + 3)(2x - \sqrt{3})(2x + \sqrt{3}) $$ **Ответ:** $(x + 3)(4x^2 - 3)$ или $(x + 3)(2x - \sqrt{3})(2x + \sqrt{3})$. --- 3) Разложим на множители многочлен $4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6$. Найдем корень многочлена среди целых делителей свободного члена $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверим $x = 2$: $$ 4 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 - 25 \cdot 2^2 - 2 + 6 = 4 \cdot 16 + 4 \cdot 8 - 25 \cdot 4 - 2 + 6 = 64 + 32 - 100 - 2 + 6 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(x - 2)$. Разложим его, представив слагаемые удобным образом: $$ 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = 4x^4 - 8x^3 + 12x^3 - 24x^2 - x^2 + 2x - 3x + 6 = $$ $$ = 4x^3(x - 2) + 12x^2(x - 2) - x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(4x^3 + 12x^2 - x - 3) $$ Разложим многочлен в скобках методом группировки: $$ 4x^3 + 12x^2 - x - 3 = 4x^2(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(4x^2 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$: $$ (x + 3)(4x^2 - 1) = (x + 3)(2x - 1)(2x + 1) $$ Объединяя все множители, получаем: $$ 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = (x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1) $$ **Ответ:** $(x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1)$. --- 4) Разложим на множители многочлен $x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5$. Найдем корень среди делителей числа $5$: $\pm 1, \pm 5$. Проверим $x = -1$: $$ (-1)^4 - 2(-1)^3 - 14(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 + 2 - 14 + 6 + 5 = 0 $$ Так как $x = -1$ — корень, многочлен делится на $(x + 1)$. Выделим этот множитель: $$ x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5 = x^4 + x^3 - 3x^3 - 3x^2 - 11x^2 - 11x + 5x + 5 = $$ $$ = x^3(x + 1) - 3x^2(x + 1) - 11x(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x^3 - 3x^2 - 11x + 5) $$ Для многочлена $x^3 - 3x^2 - 11x + 5$ найдем корень среди делителей числа $5$. Проверим $x = 5$: $$ 5^3 - 3 \cdot 5^2 - 11 \cdot 5 + 5 = 125 - 75 - 55 + 5 = 0 $$ Значит, он делится на $(x - 5)$. Выделим этот множитель: $$ x^3 - 3x^2 - 11x + 5 = x^3 - 5x^2 + 2x^2 - 10x - x + 5 = $$ $$ = x^2(x - 5) + 2x(x - 5) - (x - 5) = (x - 5)(x^2 + 2x - 1) $$ Разложим трёхчлен $x^2 + 2x - 1$ на множители, решив уравнение: $$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$ $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$ Тогда: $$ x^2 + 2x - 1 = (x - (-1 + \sqrt{2}))(x - (-1 - \sqrt{2})) = (x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}) $$ Таким образом, разложение на множители имеет вид: $$ x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5 = (x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1) = (x + 1)(x - 5)(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}) $$ **Ответ:** $(x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1)$ или $(x + 1)(x - 5)(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2})$.