ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 86

1) Перепишем выражение в виде обыкновенной дроби, используя определение степени с отрицательным показателем ($x^{-1} = \frac{1}{x}$): $$ (a^{-3} + b^{-3}) \cdot (a^{-2} - b^{-2})^{-1} \cdot (a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} = \frac{a^{-3} + b^{-3}}{(a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})} $$ Разложим числитель по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{-1}$, $y = b^{-1}$: $$ a^{-3} + b^{-3} = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) $$ Разложим первый множитель знаменателя по формуле разности квадратов: $$ a^{-2} - b^{-2} = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) $$ Подставим полученные разложения в дробь и сократим её: $$ \frac{(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})}{(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})} = \frac{1}{a^{-1} - b^{-1}} $$ Преобразуем полученное выражение, перейдя к положительным степеням: $$ \frac{1}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{1}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}} = \frac{1}{\dfrac{b - a}{ab}} = \frac{ab}{b - a} $$ Ответ: $\dfrac{ab}{b - a}$. --- 2) Запишем произведение в виде дроби: $$ (a^{-2}b - ab^{-2}) \cdot (a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} = \frac{a^{-2}b - ab^{-2}}{a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}} $$ Перейдем к степеням с положительными показателями: Для числителя: $$ a^{-2}b - ab^{-2} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{b^2} = \frac{b^3 - a^3}{a^2b^2} $$ Для знаменателя: $$ a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + ab + a^2}{a^2b^2} $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\dfrac{b^3 - a^3}{a^2b^2}}{\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}} = \frac{b^3 - a^3}{a^2b^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 + ab + b^2} = \frac{b^3 - a^3}{a^2 + ab + b^2} $$ Применим формулу разности кубов $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$: $$ \frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2)}{a^2 + ab + b^2} = b - a $$ Ответ: $b - a$.