ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 776

Разложим выражение $n^4 + n^2 + 1$ на множители. Для этого прибавим и вычтем $n^2$, чтобы выделить полный квадрат: $$ n^4 + n^2 + 1 = (n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (n^2 + 1)^2 - n^2 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1) $$ Таким образом: $$ n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1) $$ По условию $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$). Оценим каждый из множителей: 1. $n^2 + n + 1 > 1$ при любом натуральном $n \ge 1$. 2. Так как $2n > 0$, то $n^2 - n + 1 < n^2 + n + 1$. Число может быть простым только в том случае, если оно делится лишь на единицу и на само себя. Значит, меньший из двух натуральных множителей обязательно должен быть равен $1$: $$ n^2 - n + 1 = 1 $$ $$ n^2 - n = 0 $$ $$ n(n - 1) = 0 $$ Отсюда получаем два корня: $n = 0$ или $n = 1$. Так как по условию число $n$ должно быть натуральным, значение $n = 0$ не подходит. Остается значение $n = 1$. Проверим $n = 1$: $$ n^4 + n^2 + 1 = 1^4 + 1^2 + 1 = 3 $$ Число $3$ — простое. При любом $n > 1$ оба множителя $n^2 - n + 1$ и $n^2 + n + 1$ строго больше $1$, поэтому число $n^4 + n^2 + 1$ будет составным. Ответ: $n = 1$.