ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 773

Рассмотрим данное выражение: $$ \frac{(n+1)^4 + n^4 - 1}{2} $$ Раскроем скобки в числителе, применив формулу бинома Ньютона для четвертой степени $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$: $$ (n+1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 $$ Подставим полученное разложение в числитель дроби: $$ (n+1)^4 + n^4 - 1 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 + n^4 - 1 = 2n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n $$ Разделим каждое слагаемое числителя на 2: $$ \frac{2n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n}{2} = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n $$ Преобразуем полученный многочлен. Прибавим и вычтем $1$: $$ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n = (n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1) - 1 $$ Заметим, что выражение в скобках представляет собой полный квадрат трехчлена: $$ (n^2 + n + 1)^2 = (n^2)^2 + n^2 + 1^2 + 2 \cdot n^2 \cdot n + 2 \cdot n^2 \cdot 1 + 2 \cdot n \cdot 1 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 $$ Таким образом: $$ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n = (n^2 + n + 1)^2 - 1^2 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (n^2 + n + 1)^2 - 1^2 = ((n^2 + n + 1) - 1)((n^2 + n + 1) + 1) = (n^2 + n)(n^2 + n + 2) $$ Обозначим множители: $a = n^2 + n$, $b = n^2 + n + 2$. Проверим выполнение условий задачи: 1. Так как $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то числа $a = n^2 + n$ и $b = n^2 + n + 2$ также являются натуральными (при любом $n \ge 1$ имеем $a \ge 2$, $b \ge 4$). 2. Найдем разность этих чисел: $$ b - a = (n^2 + n + 2) - (n^2 + n) = 2 $$ Следовательно, исходную дробь можно представить в виде произведения двух натуральных чисел $(n^2 + n)$ и $(n^2 + n + 2)$, разность которых равна двум, что и требовалось доказать.