ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 774

1) Докажем, что равенство $m(m + 1) = n(n + 2)$ не может выполняться при натуральных $m$ и $n$. Раскроем скобки в обеих частях равенства: $$ m^2 + m = n^2 + 2n $$ Прибавим к обеим частям равенства число $1$: $$ m^2 + m + 1 = n^2 + 2n + 1 $$ $$ m^2 + m + 1 = (n + 1)^2 $$ Оценим значение выражения $m^2 + m + 1$. Так как $m$ — натуральное число ($m \ge 1$), то $m + 1 > 0$ и $m < 2m$, следовательно: $$ m^2 < m^2 + m + 1 < m^2 + 2m + 1 $$ Так как $m^2 + 2m + 1 = (m + 1)^2$, получаем двойное неравенство: $$ m^2 < (n + 1)^2 < (m + 1)^2 $$ Поскольку все числа положительны, извлечем квадратный корень: $$ m < n + 1 < m + 1 $$ Числа $m$ и $m + 1$ являются последовательными натуральными числами, поэтому между ними нет ни одного целого числа. Значит, число $n + 1$ не может быть целым, что противоречит условию $n \in \mathbb{N}$. Таким образом, равенство $m(m + 1) = n(n + 2)$ не может быть верным ни при каких натуральных числах $m$ и $n$. 2) Докажем, что равенство $m^2 + (m + 1)^2 = n^4 + (n + 1)^4$ не может выполняться при натуральных $m$ и $n$. Преобразуем левую часть равенства: $$ m^2 + (m + 1)^2 = m^2 + m^2 + 2m + 1 = 2m^2 + 2m + 1 = 2m(m + 1) + 1 $$ Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки: $$ (n + 1)^4 = ((n + 1)^2)^2 = (n^2 + 2n + 1)^2 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 $$ Тогда правая часть равна: $$ n^4 + (n + 1)^4 = n^4 + n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 = 2n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 $$ Подставим полученные выражения в исходное равенство: $$ 2m(m + 1) + 1 = 2n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 $$ Вычтем $1$ из обеих частей и разделим на $2$: $$ m(m + 1) = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n $$ Преобразуем правую часть, сгруппировав слагаемые: $$ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n = (n^4 + 2n^3 + n^2) + (2n^2 + 2n) = (n^2 + n)^2 + 2(n^2 + n) $$ Обозначим $k = n^2 + n$. Так как $n \in \mathbb{N}$, то и $k \in \mathbb{N}$. Равенство принимает вид: $$ m(m + 1) = k^2 + 2k $$ $$ m(m + 1) = k(k + 2) $$ Однако в пункте 1 доказано, что равенство вида $m(m + 1) = k(k + 2)$ не может выполняться ни при каких натуральных числах $m$ и $k$. Следовательно, исходное равенство $m^2 + (m + 1)^2 = n^4 + (n + 1)^4$ также не может быть верным ни при каких натуральных числах $m$ и $n$.