ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 778

Пусть первое из четырёх последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n \in \mathbb{N}$. Тогда следующие за ним числа равны $n + 1$, $n + 2$ и $n + 3$. По условию задачи произведение этих четырёх чисел равно $5040$: $$ n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 5040 $$ Сгруппируем крайние и средние множители: $$ (n(n + 3)) \cdot ((n + 1)(n + 2)) = 5040 $$ $$ (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) = 5040 $$ Введём замену переменной: пусть $t = n^2 + 3n$. Так как $n \in \mathbb{N}$, то $t > 0$. Получаем уравнение: $$ t(t + 2) = 5040 $$ $$ t^2 + 2t - 5040 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D_1 = 1^2 - 1 \cdot (-5040) = 1 + 5040 = 5041 = 71^2 $$ $$ t_1 = -1 + 71 = 70 $$ $$ t_2 = -1 - 71 = -72 $$ Значение $t_2 = -72$ не подходит, так как $t > 0$. Вернёмся к замене с $t = 70$: $$ n^2 + 3n = 70 $$ $$ n^2 + 3n - 70 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 = 17^2 $$ $$ n_1 = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7 $$ $$ n_2 = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $$ По условию числа должны быть натуральными, следовательно, корень $n_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи ($n \in \mathbb{N}$). Значит, первое число равно $7$. Найдём остальные три числа: 1) $n + 1 = 7 + 1 = 8$ 2) $n + 2 = 7 + 2 = 9$ 3) $n + 3 = 7 + 3 = 10$ Проверка: $7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 56 \cdot 90 = 5040$. Условие выполняется. Ответ: 7, 8, 9, 10.