ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 775

Выделим целую часть при делении многочлена $n^3 + 6n^2 + 15n + 15$ на двучлен $n + 2$. Для этого сгруппируем слагаемые: $$ n^3 + 6n^2 + 15n + 15 = (n^3 + 2n^2) + (4n^2 + 8n) + (7n + 14) + 1 $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ n^2(n + 2) + 4n(n + 2) + 7(n + 2) + 1 = (n + 2)(n^2 + 4n + 7) + 1 $$ Запишем отношение данных выражений в виде дроби: $$ \frac{n^3 + 6n^2 + 15n + 15}{n + 2} = \frac{(n + 2)(n^2 + 4n + 7) + 1}{n + 2} = n^2 + 4n + 7 + \frac{1}{n + 2} $$ Для того чтобы значение многочлена $n^3 + 6n^2 + 15n + 15$ делилось нацело на $n + 2$, дробь $\frac{1}{n + 2}$ должна быть целым числом, то есть делитель $n + 2$ должен быть делителем числа $1$. Делителями числа $1$ являются только числа $1$ и $-1$. Так как по условию $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то: $$ n + 2 \ge 1 + 2 = 3 $$ Следовательно, $n + 2$ не может быть равно $1$ или $-1$, а значит, дробь $\frac{1}{n + 2}$ не является целым числом ни при каком натуральном $n$ (так как $0 < \frac{1}{n + 2} \le \frac{1}{3} < 1$). Таким образом, сумма $n^3 + 6n^2 + 15n + 15$ при делении на $n + 2$ всегда дает остаток $1$ и не делится на $n + 2$ ни при каком натуральном числе $n$, что и требовалось доказать.