ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 67

При вычислениях используем определение степени с отрицательным целым показателем: для любого числа $a \neq 0$ и натурального $n$ справедливо равенство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, а также $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$. 1) $3^{-1} + (-2)^{-2}$ Преобразуем степени с отрицательными показателями: $$ 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} $$ $$ (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} $$ Сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю $12$: $$ 3^{-1} + (-2)^{-2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} $$ 2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} - 4^{-2}$ Вычислим каждое слагаемое: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8} $$ $$ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $16$ и выполним вычитание: $$ \frac{27}{8} - \frac{1}{16} = \frac{54}{16} - \frac{1}{16} = \frac{53}{16} = 3\frac{5}{16} $$ 3) $(0,2)^{-2} + (0,5)^{-5}$ Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Вычислим значения степеней: $$ (0,2)^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25 $$ $$ (0,5)^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32 $$ Сложим результаты: $$ (0,2)^{-2} + (0,5)^{-5} = 25 + 32 = 57 $$ 4) $(-0,1)^{-3} - (-0,2)^{-3}$ Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных: $-0,1 = -\frac{1}{10}$ и $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$. Вычислим значения выражений: $$ (-0,1)^{-3} = \left(-\frac{1}{10}\right)^{-3} = (-10)^3 = -1000 $$ $$ (-0,2)^{-3} = \left(-\frac{1}{5}\right)^{-3} = (-5)^3 = -125 $$ Выполним вычитание: $$ (-0,1)^{-3} - (-0,2)^{-3} = -1000 - (-125) = -1000 + 125 = -875 $$ Ответ: 1) $\frac{7}{12}$; 2) $3\frac{5}{16}$; 3) $57$; 4) $-875$.