ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 577

**1)** Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель $2b$ за скобки: $$ \frac{4 - b^2}{4b + 2b^2} = \frac{(2 - b)(2 + b)}{2b(2 + b)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(2 + b)$: $$ = \frac{2 - b}{2b} $$ Ответ: $\frac{2 - b}{2b}$. --- **2)** Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель $3b$ за скобки: $$ \frac{b^2 - 9}{3b^2 - 9b} = \frac{(b - 3)(b + 3)}{3b(b - 3)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(b - 3)$: $$ = \frac{b + 3}{3b} $$ Ответ: $\frac{b + 3}{3b}$. --- **3)** Вынесем в числителе общий множитель $5a$, а в знаменателе — общий множитель $b$: $$ \frac{5a^2 - 10ab}{ab - 2b^2} = \frac{5a(a - 2b)}{b(a - 2b)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(a - 2b)$: $$ = \frac{5a}{b} $$ Ответ: $\frac{5a}{b}$. --- **4)** Вынесем в числителе общий множитель $3y$, а в знаменателе — общий множитель $4x$: $$ \frac{3xy - 21y^2}{4x^2 - 28xy} = \frac{3y(x - 7y)}{4x(x - 7y)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x - 7y)$: $$ = \frac{3y}{4x} $$ Ответ: $\frac{3y}{4x}$. --- **5)** Разложим числитель $x^2 - x - 12$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -12 \implies x_1 = 4$, $x_2 = -3$. Значит, $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$. Получаем: $$ \frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 16} = \frac{(x - 4)(x + 3)}{(x - 4)(x + 4)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x - 4)$: $$ = \frac{x + 3}{x + 4} $$ Ответ: $\frac{x + 3}{x + 4}$. --- **6)** Разложим числитель $x^2 - x - 20$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -20 \implies x_1 = 5$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Получаем: $$ \frac{x^2 - x - 20}{x^2 - 25} = \frac{(x - 5)(x + 4)}{(x - 5)(x + 5)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x - 5)$: $$ = \frac{x + 4}{x + 5} $$ Ответ: $\frac{x + 4}{x + 5}$. --- **7)** Разложим числитель и знаменатель на множители с помощью формулы $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Для числителя $3x^2 - 2x - 8$: Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 8 = 0$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$; $$ x_1 = \frac{2 + 10}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $$ $$ 3x^2 - 2x - 8 = 3(x - 2)\left(x + \frac{4}{3}\right) = (x - 2)(3x + 4) $$ Для знаменателя $2x^2 - 3x - 2$: Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$; $$ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $$ $$ 2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 2)(2x + 1) $$ Подставим полученные разложения в дробь: $$ \frac{3x^2 - 2x - 8}{2x^2 - 3x - 2} = \frac{(x - 2)(3x + 4)}{(x - 2)(2x + 1)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$: $$ = \frac{3x + 4}{2x + 1} $$ Ответ: $\frac{3x + 4}{2x + 1}$. --- **8)** Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $2x^2 + x - 3$: Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 3 = 0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$; $$ x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} $$ $$ 2x^2 + x - 3 = 2(x - 1)\left(x + \frac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x + 3) $$ Для знаменателя $2x^2 + 7x + 6$: Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x + 6 = 0$: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$; $$ x_1 = \frac{-7 + 1}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-7 - 1}{4} = -2 $$ $$ 2x^2 + 7x + 6 = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)(x + 2) = (2x + 3)(x + 2) $$ Подставим разложения в дробь: $$ \frac{2x^2 + x - 3}{2x^2 + 7x + 6} = \frac{(x - 1)(2x + 3)}{(2x + 3)(x + 2)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(2x + 3)$: $$ = \frac{x - 1}{x + 2} $$ Ответ: $\frac{x - 1}{x + 2}$.