ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 54

### 1) $$ x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 2x + 6 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые попарно: $$ (x^5 + 3x^4) + (2x^3 + 6x^2) + (2x + 6) = 0 $$ Вынесем общие множители из каждой группы за скобки: $$ x^4(x + 3) + 2x^2(x + 3) + 2(x + 3) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x + 3)$: $$ (x + 3)(x^4 + 2x^2 + 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x + 3 = 0 \implies x = -3$ 2) $x^4 + 2x^2 + 2 = 0$ Выделим полный квадрат: $$ (x^2 + 1)^2 + 1 = 0 $$ Так как $(x^2 + 1)^2 \ge 1$ для любого действительного $x$, то $(x^2 + 1)^2 + 1 \ge 2 > 0$. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней. **Ответ:** $-3$ --- ### 2) $$ x^5 - 2x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 4x + 8 = 0 $$ Сгруппируем слагаемые попарно: $$ (x^5 - 2x^4) - (3x^3 - 6x^2) - (4x - 8) = 0 $$ Вынесем общие множители за скобки: $$ x^4(x - 2) - 3x^2(x - 2) - 4(x - 2) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 2)$: $$ (x - 2)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0 $$ Разложим биквадратный трёхчлен $x^4 - 3x^2 - 4$ на множители. Пусть $t = x^2$, тогда: $$ t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1) $$ Значит: $$ x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) $$ Подставим обратно в уравнение: $$ (x - 2)(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) = 0 $$ $$ (x - 2)^2 (x + 2)(x^2 + 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1) $x - 2 = 0 \implies x = 2$ 2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$ 3) $x^2 + 1 = 0$ — действительных корней нет, так как $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. **Ответ:** $-2; 2$ --- ### 3) $$ 4x^6 - 4x^5 - 5x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 2 = 0 $$ Найдем целые корни среди делителей свободного члена $\pm 1, \pm 2$. Проверим $x = -1$: $$ 4(-1)^6 - 4(-1)^5 - 5(-1)^4 - 3(-1)^3 - 7(-1)^2 + (-1) + 2 = 4 + 4 - 5 + 3 - 7 - 1 + 2 = 0 $$ Следовательно, $x = -1$ является корнем многочлена, и многочлен делится на $(x + 1)$ без остатка. Разделим многочлен на $(x + 1)$ «уголком» или с помощью схемы Горнера: $$ (4x^6 - 4x^5 - 5x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 2) : (x + 1) = 4x^5 - 8x^4 + 3x^3 - 6x^2 - x + 2 $$ Получаем уравнение: $$ (x + 1)(4x^5 - 8x^4 + 3x^3 - 6x^2 - x + 2) = 0 $$ Разложим многочлен в скобках методом группировки: $$ 4x^4(x - 2) + 3x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0 $$ $$ (x - 2)(4x^4 + 3x^2 - 1) = 0 $$ Разложим на множители выражение $4x^4 + 3x^2 - 1$. Пусть $t = x^2$: $$ 4t^2 + 3t - 1 = 4(t + 1)\left(t - \frac{1}{4}\right) = (t + 1)(4t - 1) $$ Тогда: $$ 4x^4 + 3x^2 - 1 = (x^2 + 1)(4x^2 - 1) = (x^2 + 1)(2x - 1)(2x + 1) $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ (x + 1)(x - 2)(2x - 1)(2x + 1)(x^2 + 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$ 2) $x - 2 = 0 \implies x = 2$ 3) $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ 4) $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$ 5) $x^2 + 1 = 0$ — действительных корней нет. **Ответ:** $-1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 2$ --- ### 4) $$ x^6 - 2x^5 - 2x^4 + 6x^3 - 7x^2 + 8x - 4 = 0 $$ Найдем корень среди делителей свободного члена. Проверим $x = 1$: $$ 1^6 - 2 \cdot 1^5 - 2 \cdot 1^4 + 6 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 2 - 2 + 6 - 7 + 8 - 4 = 0 $$ Значит, $x = 1$ — корень уравнения, разделим многочлен на $(x - 1)$: $$ (x^6 - 2x^5 - 2x^4 + 6x^3 - 7x^2 + 8x - 4) : (x - 1) = x^5 - x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + 4 $$ Получаем: $$ (x - 1)(x^5 - x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + 4) = 0 $$ Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $$ x^4(x - 1) - 3x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^4 - 3x^2 - 4) = 0 $$ Разложим $x^4 - 3x^2 - 4$ на множители: $$ x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) $$ Подставим найденное разложение в уравнение: $$ (x - 1)(x - 1)(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) = 0 $$ $$ (x - 1)^2 (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) = 0 $$ Приравняем множители к нулю: 1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 2) $x - 2 = 0 \implies x = 2$ 3) $x + 2 = 0 \implies x = -2$ 4) $x^2 + 1 = 0$ — действительных корней нет. **Ответ:** $-2; 1; 2$