ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 57

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} xy = 2, \\ xz = 3, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $$ Так как $xy = 2$, то $x \neq 0$. Из первого уравнения выразим $y$: $$ y = \frac{2}{x} $$ Подставим полученное выражение в третье уравнение: $$ x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 5 $$ $$ x^2 + \frac{4}{x^2} - 5 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2 \neq 0$: $$ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Вернемся к переменной $x$: 1. Если $x^2 = 1$, то $x = 1$ или $x = -1$. * При $x_1 = 1$: $$y_1 = \frac{2}{1} = 2, \quad z_1 = \frac{3}{x_1} = \frac{3}{1} = 3$$ * При $x_2 = -1$: $$y_2 = \frac{2}{-1} = -2, \quad z_2 = \frac{3}{x_2} = \frac{3}{-1} = -3$$ 2. Если $x^2 = 4$, то $x = 2$ или $x = -2$. * При $x_3 = 2$: $$y_3 = \frac{2}{2} = 1, \quad z_3 = \frac{3}{x_3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$ * При $x_4 = -2$: $$y_4 = \frac{2}{-2} = -1, \quad z_4 = \frac{3}{x_4} = \frac{3}{-2} = -1{,}5$$ Ответ: $(1; 2; 3)$, $(-1; -2; -3)$, $(2; 1; 1{,}5)$, $(-2; -1; -1{,}5)$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30, \\ y - x = 3, \\ y - z = 4. \end{cases} $$ Выразим $x$ и $z$ через $y$ из второго и третьего уравнений: $$ x = y - 3, \quad z = y - 4 $$ Подставим эти выражения в первое уравнение: $$ (y - 3)^2 + y^2 + (y - 4)^2 = 30 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ y^2 - 6y + 9 + y^2 + y^2 - 8y + 16 = 30 $$ $$ 3y^2 - 14y + 25 - 30 = 0 $$ $$ 3y^2 - 14y - 5 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2 $$ $$ y_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $$ $$ y_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$ Найдем соответствующие значения $x$ и $z$: * При $y_1 = 5$: $$x_1 = 5 - 3 = 2, \quad z_1 = 5 - 4 = 1$$ * При $y_2 = -\frac{1}{3}$: $$x_2 = -\frac{1}{3} - 3 = -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}, \quad z_2 = -\frac{1}{3} - 4 = -4\frac{1}{3} = -\frac{13}{3}$$ Ответ: $(2; 5; 1)$, $\left(-3\frac{1}{3}; -\frac{1}{3}; -4\frac{1}{3}\right)$. --- 3) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y^2 - 3xy + x^2 - x + y + 9 = 0, \\ y - x = 2. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = x + 2 $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ (x + 2)^2 - 3x(x + 2) + x^2 - x + (x + 2) + 9 = 0 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 4x + 4 - 3x^2 - 6x + x^2 - x + x + 2 + 9 = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -x^2 - 2x + 15 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^2 + 2x - 15 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$. Найдем соответствующие значения $y$: * При $x_1 = -5$: $$y_1 = -5 + 2 = -3$$ * При $x_2 = 3$: $$y_2 = 3 + 2 = 5$$ Ответ: $(-5; -3)$, $(3; 5)$. --- 4) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 - x - y = 6, \\ x - 2y = 3. \end{cases} $$ Заметим, что в первом уравнении первые три слагаемых образуют полный квадрат: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$. Сгруппируем слагаемые: $$ (x + y)^2 - (x + y) - 6 = 0 $$ Пусть $t = x + y$, тогда: $$ t^2 - t - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Получаем две линейные системы: 1. Первый случай: $$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - 2y = 3. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$(x + y) - (x - 2y) = 3 - 3$$ $$3y = 0 \implies y_1 = 0$$ Подставим $y_1 = 0$ в первое уравнение: $$x_1 + 0 = 3 \implies x_1 = 3$$ 2. Второй случай: $$ \begin{cases} x + y = -2, \\ x - 2y = 3. \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$(x + y) - (x - 2y) = -2 - 3$$ $$3y = -5 \implies y_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$$ Подставим $y_2 = -\frac{5}{3}$ в первое уравнение: $$x_2 = -2 - \left(-\frac{5}{3}\right) = -2 + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}$$ Ответ: $(3; 0)$, $\left(-\frac{1}{3}; -1\frac{2}{3}\right)$.