ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 49

### 1) $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{x-1} - \frac{7}{y-1} = 1, \\ \frac{3}{x+3} = \frac{2}{y} \end{array} \right.$$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$, $x \neq -3$, $y \neq 1$, $y \neq 0$. Преобразуем второе уравнение системы, используя основное свойство пропорции: $$3y = 2(x + 3)$$ $$3y = 2x + 6$$ $$2x = 3y - 6$$ $$x = 1{,}5y - 3$$ Выразим знаменатель $x - 1$ через $y$: $$x - 1 = 1{,}5y - 3 - 1 = 1{,}5y - 4 = \frac{3y - 8}{2}$$ Подставим полученное выражение в первое уравнение системы: $$\frac{4}{\frac{3y - 8}{2}} - \frac{7}{y - 1} = 1$$ $$\frac{8}{3y - 8} - \frac{7}{y - 1} = 1$$ Умножим обе части уравнения на $(3y - 8)(y - 1) \neq 0$: $$8(y - 1) - 7(3y - 8) = (3y - 8)(y - 1)$$ $$8y - 8 - 21y + 56 = 3y^2 - 3y - 8y + 8$$ $$-13y + 48 = 3y^2 - 11y + 8$$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$3y^2 + 2y - 40 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484 = 22^2$$ $$y_1 = \frac{-2 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-2 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$$ Оба значения $y$ удовлетворяют ОДЗ. Найдем соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = \frac{10}{3}$, то: $$x_1 = 1{,}5 \cdot \frac{10}{3} - 3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{3} - 3 = 5 - 3 = 2$$ 2. Если $y_2 = -4$, то: $$x_2 = 1{,}5 \cdot (-4) - 3 = -6 - 3 = -9$$ Обе пары $(2; 3\frac{1}{3})$ и $(-9; -4)$ удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(2; 3\frac{1}{3})$, $(-9; -4)$. --- ### 2) $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{x+5} + \frac{2}{y-3} = 2, \\ \frac{4}{x-2} = \frac{1}{y-6} \end{array} \right.$$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -5$, $x \neq 2$, $y \neq 3$, $y \neq 6$. Из второго уравнения по свойству пропорции выразим $x$: $$x - 2 = 4(y - 6)$$ $$x - 2 = 4y - 24$$ $$x = 4y - 22$$ Выразим знаменатель $x + 5$ через $y$: $$x + 5 = 4y - 22 + 5 = 4y - 17$$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$\frac{3}{4y - 17} + \frac{2}{y - 3} = 2$$ Умножим обе части уравнения на $(4y - 17)(y - 3) \neq 0$: $$3(y - 3) + 2(4y - 17) = 2(4y - 17)(y - 3)$$ $$3y - 9 + 8y - 34 = 2(4y^2 - 12y - 17y + 51)$$ $$11y - 43 = 2(4y^2 - 29y + 51)$$ $$11y - 43 = 8y^2 - 58y + 102$$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$8y^2 - 69y + 145 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-69)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 145 = 4761 - 4640 = 121 = 11^2$$ $$y_1 = \frac{69 + 11}{2 \cdot 8} = \frac{80}{16} = 5$$ $$y_2 = \frac{69 - 11}{2 \cdot 8} = \frac{58}{16} = \frac{29}{8} = 3\frac{5}{8}$$ Оба значения $y$ удовлетворяют ОДЗ. Найдем соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = 5$, то: $$x_1 = 4 \cdot 5 - 22 = 20 - 22 = -2$$ 2. Если $y_2 = \frac{29}{8}$, то: $$x_2 = 4 \cdot \frac{29}{8} - 22 = \frac{29}{2} - 22 = 14{,}5 - 22 = -7{,}5 = -7\frac{1}{2}$$ Обе пары $(-2; 5)$ и $(-7\frac{1}{2}; 3\frac{5}{8})$ удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(-2; 5)$, $(-7\frac{1}{2}; 3\frac{5}{8})$.