ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 48

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 - y = 2, \\ x - y = 1. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $$ y = x - 1 $$ Подставим полученное выражение вместо $y$ в первое уравнение системы: $$ 2x^2 - (x - 1) = 2 $$ Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду: $$ 2x^2 - x + 1 - 2 = 0 $$ $$ 2x^2 - x - 1 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0{,}5 $$ Найдём соответствующие значения переменной $y$, подставив найденные значения $x$ в равенство $y = x - 1$: при $x_1 = 1$: $$ y_1 = 1 - 1 = 0 $$ при $x_2 = -0{,}5$: $$ y_2 = -0{,}5 - 1 = -1{,}5 $$ Получили пары чисел: $(1; 0)$ и $(-0{,}5; -1{,}5)$. Ответ: $(1; 0)$, $(-0{,}5; -1{,}5)$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$: $$ x = y + 7 $$ Подставим полученное выражение вместо $x$ в первое уравнение системы: $$ (y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19 $$ Раскроем скобки, применяя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ y^2 + 14y + 49 - (y^2 + 7y) - y^2 = 19 $$ $$ y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 - 19 = 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ -y^2 + 7y + 30 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ y^2 - 7y - 30 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 $$ Корни уравнения: $$ y_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ y_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 $$ Найдём соответствующие значения переменной $x$, используя выражение $x = y + 7$: при $y_1 = 10$: $$ x_1 = 10 + 7 = 17 $$ при $y_2 = -3$: $$ x_2 = -3 + 7 = 4 $$ Получили пары чисел: $(17; 10)$ и $(4; -3)$. Ответ: $(17; 10)$, $(4; -3)$.