ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 47

**1)** Решим уравнение: $$ \frac{4x^2}{x-2} - \frac{4x}{x+3} = \frac{9x+2}{x^2+x-6} $$ Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе правой части на множители: корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$, значит: $$ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели дробей не должны быть равны нулю, то есть $x - 2 \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$, откуда: $$ x \neq 2, \quad x \neq -3 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 2)(x + 3)$: $$ 4x^2(x + 3) - 4x(x - 2) = 9x + 2 $$ Раскроем скобки: $$ 4x^3 + 12x^2 - 4x^2 + 8x = 9x + 2 $$ Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть: $$ 4x^3 + 8x^2 + 8x - 9x - 2 = 0 $$ $$ 4x^3 + 8x^2 - x - 2 = 0 $$ Разложим левую часть на множители способом группировки: $$ 4x^2(x + 2) - (x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(4x^2 - 1) = 0 $$ $$ (x + 2)(2x - 1)(2x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$ 2) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2} = 0{,}5$ 3) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_3 = -\frac{1}{2} = -0{,}5$ Проверим найденные значения по ОДЗ: Ни одно из чисел $-2$, $0{,}5$, $-0{,}5$ не равно $2$ и $-3$. Следовательно, все три значения являются корнями уравнения. **Ответ:** $-2$; $-0{,}5$; $0{,}5$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \frac{x^2}{x+3} + \frac{x}{x-2} = \frac{11x-12}{x^2+x-6} $$ Разложим знаменатель правой части на множители: $$ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x \neq -3, \quad x \neq 2 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 3)(x - 2)$: $$ x^2(x - 2) + x(x + 3) = 11x - 12 $$ Раскроем скобки: $$ x^3 - 2x^2 + x^2 + 3x = 11x - 12 $$ $$ x^3 - x^2 + 3x = 11x - 12 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены: $$ x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0 $$ Разложим многочлен на множители способом группировки (представим $-x^2$ как $-2x^2 + x^2$, а $-8x$ как $-2x - 6x$): $$ (x^3 - 2x^2) + (x^2 - 2x) - (6x - 12) = 0 $$ $$ x^2(x - 2) + x(x - 2) - 6(x - 2) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки: $$ (x - 2)(x^2 + x - 6) = 0 $$ Так как $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$, получаем: $$ (x - 2)(x - 2)(x + 3) = 0 $$ $$ (x - 2)^2(x + 3) = 0 $$ Отсюда: 1) $(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$ 2) $x + 3 = 0 \implies x = -3$ Проверим найденные значения по ОДЗ: При $x = 2$ и $x = -3$ знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Значит, оба значения являются посторонними корнями. Следовательно, уравнение не имеет корней. **Ответ:** корней нет.