ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 35

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} yz = 15, \\ xz = 10, \\ y^2 + z^2 = 34. \end{cases} $$ Сначала рассмотрим уравнения, содержащие переменные $y$ и $z$: $$ \begin{cases} yz = 15, \\ y^2 + z^2 = 34. \end{cases} $$ Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(y + z)^2 = y^2 + z^2 + 2yz = 34 + 2 \cdot 15 = 64$, откуда $y + z = 8$ или $y + z = -8$. $(y - z)^2 = y^2 + z^2 - 2yz = 34 - 2 \cdot 15 = 4$, откуда $y - z = 2$ или $y - z = -2$. Составим и решим возможные линейные системы: а) $\begin{cases} y + z = 8, \\ y - z = 2 \end{cases} \implies 2y = 10 \implies y = 5, \; z = 3$. б) $\begin{cases} y + z = 8, \\ y - z = -2 \end{cases} \implies 2y = 6 \implies y = 3, \; z = 5$. в) $\begin{cases} y + z = -8, \\ y - z = 2 \end{cases} \implies 2y = -6 \implies y = -3, \; z = -5$. г) $\begin{cases} y + z = -8, \\ y - z = -2 \end{cases} \implies 2y = -10 \implies y = -5, \; z = -3$. Теперь найдём значение переменной $x$ из второго уравнения системы $xz = 10$, то есть $x = \frac{10}{z}$: 1. При $z = 3, \; y = 5$: $x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$. 2. При $z = 5, \; y = 3$: $x = \frac{10}{5} = 2$. 3. При $z = -5, \; y = -3$: $x = \frac{10}{-5} = -2$. 4. При $z = -3, \; y = -5$: $x = \frac{10}{-3} = -3\frac{1}{3}$. Ответ: $\left(3\frac{1}{3}; 5; 3\right)$, $(2; 3; 5)$, $(-2; -3; -5)$, $\left(-3\frac{1}{3}; -5; -3\right)$. --- 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} xz + yz = 16, \\ xy + yz = 15, \\ xz + xy = 7. \end{cases} $$ Сложим почленно все три уравнения системы: $$ (xz + yz) + (xy + yz) + (xz + xy) = 16 + 15 + 7 $$ $$ 2xy + 2yz + 2xz = 38 $$ Разделим обе части полученного уравнения на 2: $$ xy + yz + xz = 19 $$ Вычтем из этого уравнения поочередно каждое уравнение исходной системы: 1. $(xy + yz + xz) - (xz + yz) = 19 - 16 \implies xy = 3$. 2. $(xy + yz + xz) - (xy + yz) = 19 - 15 \implies xz = 4$. 3. $(xy + yz + xz) - (xz + xy) = 19 - 7 \implies yz = 12$. Получили систему уравнений: $$ \begin{cases} xy = 3, \\ xz = 4, \\ yz = 12. \end{cases} $$ Перемножим эти три уравнения: $$ (xy) \cdot (xz) \cdot (yz) = 3 \cdot 4 \cdot 12 $$ $$ x^2 y^2 z^2 = 144 $$ $$ (xyz)^2 = 144 \implies xyz = 12 \quad \text{или} \quad xyz = -12 $$ Рассмотрим два случая: 1. Если $xyz = 12$: $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{12}{12} = 1$, $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{12}{4} = 3$, $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{12}{3} = 4$. Получаем решение: $(1; 3; 4)$. 2. Если $xyz = -12$: $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-12}{12} = -1$, $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-12}{4} = -3$, $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-12}{3} = -4$. Получаем решение: $(-1; -3; -4)$. Ответ: $(1; 3; 4)$, $(-1; -3; -4)$.