ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 306

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $$ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} $$ где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель ($q \neq 1$). --- 1) Дана геометрическая прогрессия: $128, 64, 32, \ldots$, $n = 6$. Найдем первый член и знаменатель прогрессии: $b_1 = 128$; $q = \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$. Вычислим сумму первых 6 членов: $$ S_6 = \frac{128 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{128 \cdot \left(1 - \frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} = 128 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 2 \cdot 63 \cdot 2 = 252 $$ Ответ: $252$. --- 2) Дана геометрическая прогрессия: $162, 54, 18, \ldots$, $n = 5$. Найдем первый член и знаменатель прогрессии: $b_1 = 162$; $q = \frac{54}{162} = \frac{1}{3}$. Вычислим сумму первых 5 членов: $$ S_5 = \frac{162 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{162 \cdot \left(1 - \frac{1}{243}\right)}{\frac{2}{3}} = 162 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{486}{243} \cdot 121 = 2 \cdot 121 = 242 $$ Ответ: $242$. --- 3) Дана геометрическая прогрессия: $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \ldots$, $n = 5$. Найдем первый член и знаменатель прогрессии: $b_1 = \frac{2}{3}$; $q = \frac{1}{2} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$. Вычислим сумму первых 5 членов: $$ S_5 = \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^5\right)}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(1 - \frac{243}{1024}\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{781}{1024} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 781 \cdot 4}{3 \cdot 1024} = \frac{781}{3 \cdot 128} = \frac{781}{384} = 2\frac{13}{384} $$ Ответ: $\frac{781}{384}$ (или $2\frac{13}{384}$). --- 4) Дана геометрическая прогрессия: $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots$, $n = 4$. Найдем первый член и знаменатель прогрессии: $b_1 = \frac{3}{4}$; $q = \frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$. Вычислим сумму первых 4 членов: $$ S_4 = \frac{\frac{3}{4} \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4\right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \left(1 - \frac{16}{81}\right)}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{65}{81} \cdot 3 = \frac{9 \cdot 65}{4 \cdot 81} = \frac{65}{36} = 1\frac{29}{36} $$ Ответ: $\frac{65}{36}$ (или $1\frac{29}{36}$). --- 5) Дана геометрическая прогрессия: $-\frac{1}{8}, -\frac{1}{2}, -2, \ldots$, $n = 4$. Найдем первый член и знаменатель прогрессии: $b_1 = -\frac{1}{8}$; $q = -\frac{1}{2} : \left(-\frac{1}{8}\right) = -\frac{1}{2} \cdot (-8) = 4$. Вычислим сумму первых 4 членов: $$ S_4 = \frac{-\frac{1}{8} \cdot (1 - 4^4)}{1 - 4} = \frac{-\frac{1}{8} \cdot (1 - 256)}{-3} = \frac{-\frac{1}{8} \cdot (-255)}{-3} = -\frac{255}{8 \cdot 3} = -\frac{85}{8} = -10\frac{5}{8} $$ Ответ: $-\frac{85}{8}$ (или $-10\frac{5}{8}$, $-10{,}625$). --- 6) Дана геометрическая прогрессия: $-4, 8, -16, \ldots$, $n = 5$. Найдем первый член и знаменатель прогрессии: $b_1 = -4$; $q = \frac{8}{-4} = -2$. Вычислим сумму первых 5 членов: $$ S_5 = \frac{-4 \cdot (1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{-4 \cdot (1 - (-32))}{1 + 2} = \frac{-4 \cdot 33}{3} = -4 \cdot 11 = -44 $$ Ответ: $-44$.