ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 281

Пусть даны три числа: $$ b_1 = \sqrt{3x}, \quad b_2 = x\sqrt{3}, \quad b_3 = x\sqrt{3x} $$ По определению арифметического квадратного корня выражение имеет смысл в действительных числах при $x > 0$. Три отличных от нуля числа $b_1$, $b_2$ и $b_3$ являются последовательными членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению крайних, то есть: $$ b_2^2 = b_1 \cdot b_3 $$ 1. Найдём квадрат среднего члена: $$ b_2^2 = (x\sqrt{3})^2 = x^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 3x^2 $$ 2. Найдём произведение крайних членов: $$ b_1 \cdot b_3 = \sqrt{3x} \cdot (x\sqrt{3x}) = x \cdot (\sqrt{3x})^2 = x \cdot 3x = 3x^2 $$ 3. Сравним полученные результаты: $$ b_2^2 = b_1 \cdot b_3 = 3x^2 $$ Так как $x \neq 0$, то $3x^2 \neq 0$, а значит, все члены отличны от нуля. Знаменатель прогрессии равен: $$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{3x}} = \sqrt{\frac{3x^2}{3x}} = \sqrt{x} $$ Равенство $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$ выполняется, следовательно, числа $\sqrt{3x}$, $x\sqrt{3}$ и $x\sqrt{3x}$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, что и требовалось доказать.