ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 267

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $$ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n $$ Выразим суммы $S_{12}$, $S_8$ и $S_4$ через $a_1$ и $d$: 1) Для $n = 12$: $$ S_{12} = \frac{2a_1 + (12 - 1)d}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 11d) \cdot 6 = 12a_1 + 66d $$ 2) Для $n = 8$: $$ S_8 = \frac{2a_1 + (8 - 1)d}{2} \cdot 8 = (2a_1 + 7d) \cdot 4 = 8a_1 + 28d $$ 3) Для $n = 4$: $$ S_4 = \frac{2a_1 + (4 - 1)d}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 4a_1 + 6d $$ Преобразуем правую часть доказываемого равенства $3(S_8 - S_4)$: $$ S_8 - S_4 = (8a_1 + 28d) - (4a_1 + 6d) = 8a_1 + 28d - 4a_1 - 6d = 4a_1 + 22d $$ $$ 3(S_8 - S_4) = 3(4a_1 + 22d) = 12a_1 + 66d $$ Сравнивая левую и правую части, получаем: $$ S_{12} = 3(S_8 - S_4) = 12a_1 + 66d $$ Равенство доказано.