ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 24

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем условие в виде системы: $$ \begin{cases} x^3 - 2ax^2 - a^2x + 2a^3 = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases} $$ Разложим многочлен в левой части первого уравнения на множители способом группировки: $$ x^2(x - 2a) - a^2(x - 2a) = 0 $$ $$ (x - 2a)(x^2 - a^2) = 0 $$ $$ (x - 2a)(x - a)(x + a) = 0 $$ Отсюда получаем корни числителя: $x_1 = 2a$, $x_2 = a$, $x_3 = -a$. Исходное уравнение имеет три различных действительных корня при одновременном выполнении двух условий: 1. Корни числителя $x_1$, $x_2$, $x_3$ попарно различны между собой; 2. Ни один из этих корней не обращает знаменатель в ноль, то есть не равен $-3$. Проверим эти условия: 1) Корни попарно различны: - $x_1 \neq x_2 \iff 2a \neq a \iff a \neq 0$; - $x_1 \neq x_3 \iff 2a \neq -a \iff 3a \neq 0 \iff a \neq 0$; - $x_2 \neq x_3 \iff a \neq -a \iff 2a \neq 0 \iff a \neq 0$. Таким образом, корни числителя различны при $a \neq 0$. 2) Корни удовлетворяют ограничению $x \neq -3$: - $x_1 \neq -3 \iff 2a \neq -3 \iff a \neq -1{,}5$; - $x_2 \neq -3 \iff a \neq -3$; - $x_3 \neq -3 \iff -a \neq -3 \iff a \neq 3$. Объединяя все найденные ограничения, получаем: $a \neq -3$, $a \neq -1{,}5$, $a \neq 0$, $a \neq 3$. Ответ: $a \in (-\infty; -3) \cup (-3; -1{,}5) \cup (-1{,}5; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.