ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 22

1) Решим уравнение: $$ \frac{x^3 - 9x^2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + 27 = \frac{2x - 3}{x^2 - 3x + 2} $$ Разложим знаменатель правой части на множители: $$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0, \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1, \\ x \neq 2 \end{cases} $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \left(\frac{x^3 - 9x^2}{x - 1} + 27\right) = \frac{2x - 3}{(x - 1)(x - 2)} - \frac{1}{x - 2} $$ Приведём выражения в левой и правой частях к общим знаменателям: $$ \frac{x^3 - 9x^2 + 27(x - 1)}{x - 1} = \frac{2x - 3 - 1 \cdot (x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} $$ $$ \frac{x^3 - 9x^2 + 27x - 27}{x - 1} = \frac{2x - 3 - x + 1}{(x - 1)(x - 2)} $$ Заметим, что числитель левой части сворачивается по формуле куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $$ x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3 $$ Числитель правой части равен $x - 2$: $$ \frac{(x - 3)^3}{x - 1} = \frac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} $$ Сократим дробь в правой части на $(x - 2) \neq 0$: $$ \frac{(x - 3)^3}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} $$ Так как $x - 1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на $(x - 1)$: $$ (x - 3)^3 = 1 $$ $$ x - 3 = 1 $$ $$ x = 4 $$ Значение $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $4$. --- 2) Решим уравнение: $$ \frac{x^3}{x - 2} - \frac{3x^2 - 1}{x + 1} = \frac{6x^2}{x^2 - x - 2} $$ Разложим квадратный трёхчлен в правой части на множители: $$ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 \neq 0, \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 2, \\ x \neq -1 \end{cases} $$ Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x - 2)(x + 1)$: $$ \frac{x^3(x + 1) - (3x^2 - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{6x^2}{(x - 2)(x + 1)} $$ Приравняем числители при условии $x \neq 2, x \neq -1$: $$ x^4 + x^3 - (3x^3 - 6x^2 - x + 2) = 6x^2 $$ $$ x^4 + x^3 - 3x^3 + 6x^2 + x - 2 - 6x^2 = 0 $$ $$ x^4 - 2x^3 + x - 2 = 0 $$ Разложим многочлен на множители способом группировки: $$ x^3(x - 2) + 1 \cdot (x - 2) = 0 $$ $$ (x - 2)(x^3 + 1) = 0 $$ $$ (x - 2)(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$ — не входит в ОДЗ (посторонний корень). 2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ — не входит в ОДЗ (посторонний корень). 3. $x^2 - x + 1 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 $$ Действительных корней нет. Ответ: действительных корней нет. --- 3) Решим уравнение: $$ \frac{x^2}{x + 2} + \frac{2x^2(x - 2)}{x - 3} = \frac{3x^2 + 19x + 6}{x^2 - x - 6} $$ Разложим знаменатель правой части на множители: $$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 2 \neq 0, \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq -2, \\ x \neq 3 \end{cases} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 3)$: $$ \frac{x^2(x - 3) + 2x^2(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(x - 3)} = \frac{3x^2 + 19x + 6}{(x + 2)(x - 3)} $$ Так как знаменатели равны, приравняем числители: $$ x^3 - 3x^2 + 2x^2(x^2 - 4) = 3x^2 + 19x + 6 $$ $$ x^3 - 3x^2 + 2x^4 - 8x^2 = 3x^2 + 19x + 6 $$ $$ 2x^4 + x^3 - 11x^2 - 3x^2 - 19x - 6 = 0 $$ $$ 2x^4 + x^3 - 14x^2 - 19x - 6 = 0 $$ Разделим полученный многочлен на $(x^2 - x - 6)$: $$ 2x^4 + x^3 - 14x^2 - 19x - 6 = (x^2 - x - 6)(2x^2 + 3x + 1) $$ Уравнение принимает вид: $$ (x^2 - x - 6)(2x^2 + 3x + 1) = 0 $$ По ОДЗ $x^2 - x - 6 \neq 0$, следовательно: $$ 2x^2 + 3x + 1 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1 $$ Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2, x \neq 3$). Ответ: $-1;\ -0{,}5$. --- 4) Решим уравнение: $$ \frac{2x^3}{x + 2} + \frac{x^2}{x - 1} = \frac{8x^2 - 7x + 2}{x^2 + x - 2} $$ Разложим знаменатель правой части на множители: $$ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 2 \neq 0, \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq -2, \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 2)(x - 1)$: $$ \frac{2x^3(x - 1) + x^2(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{8x^2 - 7x + 2}{(x + 2)(x - 1)} $$ Приравняем числители: $$ 2x^4 - 2x^3 + x^3 + 2x^2 = 8x^2 - 7x + 2 $$ $$ 2x^4 - x^3 + 2x^2 - 8x^2 + 7x - 2 = 0 $$ $$ 2x^4 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = 0 $$ Разделим многочлен на $(x^2 + x - 2)$: $$ 2x^4 - x^3 - 6x^2 + 7x - 2 = (x^2 + x - 2)(2x^2 - 3x + 1) $$ Уравнение принимает вид: $$ (x^2 + x - 2)(2x^2 - 3x + 1) = 0 $$ По ОДЗ $x^2 + x - 2 \neq 0$, поэтому: $$ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$ Проверим корни по ОДЗ: - $x = 1$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль (посторонний корень); - $x = 0{,}5$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $0{,}5$.