ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 220

**220.** **1)** $(3x + 1)^4 > 625$ Заметим, что $625 = 5^4$. Перепишем неравенство в виде: $$ (3x + 1)^4 > 5^4 $$ Так как функция $y = t^4$ убывает при $t \leqslant 0$ и возрастает при $t \geqslant 0$, неравенство $a^4 > b^4$ для действительных чисел равносильно $|a| > |b|$: $$ |3x + 1| > 5 $$ Неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств: $$ \left[\begin{array}{l} 3x + 1 > 5, \\ 3x + 1 < -5 \end{array}\right. $$ Решим каждое из них: 1) $3x + 1 > 5$ $3x > 4$ $x > \dfrac{4}{3}$, то есть $x > 1\dfrac{1}{3}$. 2) $3x + 1 < -5$ $3x < -6$ $x < -2$. Объединяя полученные решения, получаем: $$ x < -2 \quad \text{или} \quad x > 1\dfrac{1}{3} $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -2) \cup \left(1\dfrac{1}{3}; +\infty\right)$. --- **2)** $(3x^2 + 5x)^5 \leqslant 32$ Заметим, что $32 = 2^5$. Неравенство принимает вид: $$ (3x^2 + 5x)^5 \leqslant 2^5 $$ Так как показатель степени — нечётное число ($n = 5$), функция $y = t^5$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Извлекая корень пятой степени из обеих частей неравенства, получаем равносильное квадратное неравенство: $$ 3x^2 + 5x \leqslant 2 $$ Перенесём слагаемое $2$ в левую часть: $$ 3x^2 + 5x - 2 \leqslant 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $3x^2 + 5x - 2 = 0$: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \dfrac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \dfrac{-12}{6} = -2 $$ $$ x_2 = \dfrac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} $$ Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 2$ направлены вверх (так как старший коэффициент $3 > 0$), поэтому трёхчлен принимает неположительные значения между корнями, включая сами корни: $$ -2 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{3} $$ **Ответ:** $x \in \left[-2; \dfrac{1}{3}\right]$.