ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 217

1) $y = \frac{1}{(x-3)^2}$ на промежутке $(3; +\infty)$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из промежутка $(3; +\infty)$ такие, что: $$ 3 < x_1 < x_2 $$ Вычтем $3$ из каждой части неравенства: $$ 0 < x_1 - 3 < x_2 - 3 $$ Так как обе части неравенства положительны, возведём их в квадрат: $$ (x_1 - 3)^2 < (x_2 - 3)^2 $$ При переходе к обратным положительным величинам знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{1}{(x_1 - 3)^2} > \frac{1}{(x_2 - 3)^2} $$ То есть $y(x_1) > y(x_2)$. Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция убывает на промежутке $(3; +\infty)$. Ответ: функция убывает. --- 2) $y = \frac{1}{(x-2)^3}$ на промежутке $(-\infty; 2)$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из промежутка $(-\infty; 2)$ такие, что: $$ x_1 < x_2 < 2 $$ Вычтем $2$ из каждой части неравенства: $$ x_1 - 2 < x_2 - 2 < 0 $$ Возведём обе части отрицательного неравенства в куб (знак неравенства сохраняется): $$ (x_1 - 2)^3 < (x_2 - 2)^3 < 0 $$ При переходе к обратным величинам для чисел одного знака (в данном случае отрицательных) знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{1}{(x_1 - 2)^3} > \frac{1}{(x_2 - 2)^3} $$ То есть $y(x_1) > y(x_2)$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2)$. Ответ: функция убывает. --- 3) $y = \sqrt[3]{x+1}$ на промежутке $[0; +\infty)$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из промежутка $[0; +\infty)$ такие, что: $$ 0 \le x_1 < x_2 $$ Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $$ 1 \le x_1 + 1 < x_2 + 1 $$ Функция кубического корня является возрастающей на всей числовой прямой, поэтому при извлечении корня знак неравенства сохраняется: $$ \sqrt[3]{x_1 + 1} < \sqrt[3]{x_2 + 1} $$ То есть $y(x_1) < y(x_2)$. Меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно, функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Ответ: функция возрастает. --- 4) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}$ на промежутке $(-\infty; -1)$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из промежутка $(-\infty; -1)$ такие, что: $$ x_1 < x_2 < -1 $$ Прибавим $1$ ко всем частям неравенства: $$ x_1 + 1 < x_2 + 1 < 0 $$ Извлечём кубический корень (знак неравенства сохраняется): $$ \sqrt[3]{x_1 + 1} < \sqrt[3]{x_2 + 1} < 0 $$ Так как обе величины отрицательны, при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{x_1 + 1}} > \frac{1}{\sqrt[3]{x_2 + 1}} $$ То есть $y(x_1) > y(x_2)$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1)$. Ответ: функция убывает.