ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 219

### 1) $y = \frac{1}{x^2}$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** знаменатель дроби не равен нулю, то есть $x \neq 0$. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Область значений:** так как $x^2 > 0$ при всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. $$ E(y) = (0; +\infty) $$ 3. **Чётность:** $$ y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x) $$ Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 4. **Нули функции и знаки:** нулей нет, график не пересекает ось $Ox$. При всех $x \neq 0$ функция принимает положительные значения ($y > 0$). 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * на промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает; * на промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает. 6. **Асимптоты:** прямые $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = 0$ (ось $Ox$). **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $\frac{1}{4}$ | $1$ | $4$ | $4$ | $1$ | $\frac{1}{4}$ | **Построение графика:** График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси $Oy$. Обе ветви неограниченно приближаются к оси $Oy$ при стремлении $x$ к $0$ и к оси $Ox$ при $|x| \to \infty$. --- ### 2) $y = \frac{1}{x^3}$ **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $x \neq 0$. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Область значений:** функция принимает любые действительные значения, кроме нуля. $$ E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 3. **Чётность:** $$ y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -\frac{1}{x^3} = -y(x) $$ Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 4. **Нули функции и знаки:** нулей нет. * $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$. 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$; * функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$. 6. **Асимптоты:** прямые $x = 0$ (ось $Oy$) и $y = 0$ (ось $Ox$). **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-\frac{1}{8}$ | $-1$ | $-8$ | $8$ | $1$ | $\frac{1}{8}$ | **Построение графика:** График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях (гиперболического типа, круче спадающих, чем у $y = \frac{1}{x}$), симметричных относительно начала координат. --- ### 3) $y = 3 - \frac{1}{x^2}$ График получается из графика функции $y = \frac{1}{x^2}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$ (получаем $y = -\frac{1}{x^2}$) и последующим сдвигом вверх вдоль оси $Oy$ на $3$ единицы. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $x \neq 0$. $$ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $$ 2. **Область значений:** поскольку $\frac{1}{x^2} > 0$, то $-\frac{1}{x^2} < 0$, следовательно, $3 - \frac{1}{x^2} < 3$. $$ E(y) = (-\infty; 3) $$ 3. **Чётность:** $$ y(-x) = 3 - \frac{1}{(-x)^2} = 3 - \frac{1}{x^2} = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. 4. **Нули функции:** $$ 3 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3} $$ 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает; * на промежутке $(0; +\infty)$ функция возрастает. 6. **Асимптоты:** вертикальная асимптота $x = 0$ (ось $Oy$), горизонтальная асимптота $y = 3$. **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2\frac{3}{4}$ | $2$ | $-1$ | $-1$ | $2$ | $2\frac{3}{4}$ | **Построение графика:** Обе ветви графика направлены вниз и уходят в $-\infty$ при приближении к оси $Oy$ ($x \to 0$), а при $|x| \to \infty$ ветви снизу приближаются к горизонтальной прямой $y = 3$. --- ### 4) $y = \frac{1}{(x-1)^3} - 2$ График получается из графика функции $y = \frac{1}{x^3}$ параллельным переносом (сдвигом) на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$ и на $2$ единицы вниз вдоль оси $Oy$. **Свойства функции:** 1. **Область определения:** $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$. $$ D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) $$ 2. **Область значений:** $$ E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty) $$ 3. **Чётность:** функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как её область определения несимметрична относительно нуля. Центр симметрии графика переместился в точку $(1; -2)$. 4. **Нули функции:** $$ \frac{1}{(x-1)^3} - 2 = 0 \implies (x-1)^3 = \frac{1}{2} \implies x = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $$ 5. **Промежутки возрастания и убывания:** * функция убывает на промежутке $(-\infty; 1)$; * функция убывает на промежутке $(1; +\infty)$. 6. **Асимптоты:** прямые $x = 1$ (вертикальная асимптота) и $y = -2$ (горизонтальная асимптота). **Таблица контрольных точек:** | $x$ | $-1$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{2}$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2\frac{1}{8}$ | $-3$ | $-10$ | $6$ | $-1$ | $-1\frac{7}{8}$ | **Построение графика:** Строятся две пунктирные вспомогательные прямые (асимптоты): $x = 1$ и $y = -2$. Относительно их пересечения в точке $(1; -2)$ строятся ветви кубической гиперболы: левая ветвь лежит в области $x < 1, y < -2$, правая ветвь — в области $x > 1, y > -2$.