ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 19

**1)** Решим уравнение: $$ 6x^4 - 35x^3 + 62x^2 - 35x + 6 = 0 $$ Так как $x = 0$ не является корнем уравнения ($6 \cdot 0 - 35 \cdot 0 + 62 \cdot 0 - 35 \cdot 0 + 6 = 6 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^2$: $$ 6x^2 - 35x + 62 - \frac{35}{x} + \frac{6}{x^2} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами: $$ 6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 35\left(x + \frac{1}{x}\right) + 62 = 0 $$ Введём новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Возведём обе части этого равенства в квадрат: $$ t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $$ Отсюда выразим: $$ x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 $$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ 6(t^2 - 2) - 35t + 62 = 0 $$ $$ 6t^2 - 12 - 35t + 62 = 0 $$ $$ 6t^2 - 35t + 50 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение: $$ D = (-35)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 50 = 1225 - 1200 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{35 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} $$ $$ t_2 = \frac{35 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} $$ Вернемся к переменной $x$: 1. Если $t = \frac{10}{3}$, то: $$ x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} $$ Умножим обе части уравнения на $3x$ (при $x \neq 0$): $$ 3x^2 + 3 = 10x $$ $$ 3x^2 - 10x + 3 = 0 $$ $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ 2. Если $t = \frac{5}{2}$, то: $$ x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2x$ (при $x \neq 0$): $$ 2x^2 + 2 = 5x $$ $$ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ x_3 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 $$ $$ x_4 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Ответ к пункту 1: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$; $2$; $3$. --- **2)** Решим уравнение: $$ x^4 + 2x^3 - 22x^2 + 2x + 1 = 0 $$ Так как $x = 0$ не является корнем ($0 + 0 - 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^2$: $$ x^2 + 2x - 22 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами: $$ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \frac{1}{x}\right) - 22 = 0 $$ Пусть $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Подставим в уравнение: $$ (t^2 - 2) + 2t - 22 = 0 $$ $$ t^2 + 2t - 24 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = -2 \\ t_1 \cdot t_2 = -24 \end{cases} $$ Отсюда находим: $t_1 = 4$, $t_2 = -6$. Вернемся к переменной $x$: 1. Если $t = 4$, то: $$ x + \frac{1}{x} = 4 $$ Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$): $$ x^2 - 4x + 1 = 0 $$ $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 $$ $$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} $$ 2. Если $t = -6$, то: $$ x + \frac{1}{x} = -6 $$ Умножим обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$): $$ x^2 + 6x + 1 = 0 $$ $$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32 $$ $$ x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2} $$ Ответ к пункту 2: $-3 - 2\sqrt{2}$; $-3 + 2\sqrt{2}$; $2 - \sqrt{3}$; $2 + \sqrt{3}$.