ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 20

### 1) $$ \frac{x^2}{x+1} - \frac{5}{x-2} = \frac{11}{(x+1)(2-x)} $$ Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$. Перепишем правую часть: $$ \frac{x^2}{x+1} - \frac{5}{x-2} = -\frac{11}{(x+1)(x-2)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 1 \neq 0, \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq -1, \\ x \neq 2 \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 1)(x - 2)$: $$ x^2(x - 2) - 5(x + 1) = -11 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ x^3 - 2x^2 - 5x - 5 = -11 $$ $$ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0 $$ Среди делителей свободного члена $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ найдём корень подбором: при $x = 1$ получаем $1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 0$, значит, $x = 1$ — корень уравнения. Разложим левую часть на множители, выделив $(x - 1)$: $$ x^3 - x^2 - x^2 + x - 6x + 6 = 0 $$ $$ x^2(x - 1) - x(x - 1) - 6(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^2 - x - 6) = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ Все найденные значения $x = 1$, $x = 3$, $x = -2$ удовлетворяют ОДЗ. **Ответ:** $-2$; $1$; $3$. --- ### 2) $$ \frac{16x + 9}{x + 4} - \frac{1}{x} = 2 + 2x $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x \neq -4, \quad x \neq 0 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x + 4)$: $$ x(16x + 9) - (x + 4) = (2 + 2x) \cdot x(x + 4) $$ Раскроем скобки: $$ 16x^2 + 9x - x - 4 = (2 + 2x)(x^2 + 4x) $$ $$ 16x^2 + 8x - 4 = 2x^3 + 8x^2 + 2x^2 + 8x $$ $$ 16x^2 + 8x - 4 = 2x^3 + 10x^2 + 8x $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 2x^3 - 6x^2 + 4 = 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ x^3 - 3x^2 + 2 = 0 $$ Заметим, что сумма коэффициентов равна $1 - 3 + 2 = 0$, следовательно, $x = 1$ — корень. Разложим многочлен на множители: $$ x^3 - x^2 - 2x^2 + 2 = 0 $$ $$ x^2(x - 1) - 2(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2(x - 1) - 2(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^2 - 2x - 2) = 0 $$ Решим уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$: $$ D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-2) = 1 + 2 = 3 $$ $$ x = 1 \pm \sqrt{3} $$ Все найденные корни $x = 1$, $x = 1 - \sqrt{3}$, $x = 1 + \sqrt{3}$ входят в ОДЗ. **Ответ:** $1$; $1 - \sqrt{3}$; $1 + \sqrt{3}$. --- ### 3) $$ \frac{3x^2}{x-1} - \frac{7}{x+1} = \frac{5x^2 + 9}{x^2 - 1} $$ Так как $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, область допустимых значений (ОДЗ): $$ x \neq 1, \quad x \neq -1 $$ Умножим обе части уравнения на $(x - 1)(x + 1)$: $$ 3x^2(x + 1) - 7(x - 1) = 5x^2 + 9 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ 3x^3 + 3x^2 - 7x + 7 = 5x^2 + 9 $$ $$ 3x^3 - 2x^2 - 7x - 2 = 0 $$ Проверим делители свободного члена: при $x = -1$ получаем: $$ 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - 2 = -3 - 2 + 7 - 2 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(x + 1)$. Выполним разложение: $$ 3x^3 + 3x^2 - 5x^2 - 5x - 2x - 2 = 0 $$ $$ 3x^2(x + 1) - 5x(x + 1) - 2(x + 1) = 0 $$ $$ (x + 1)(3x^2 - 5x - 2) = 0 $$ Решим квадратное уравнение $3x^2 - 5x - 2 = 0$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ x = \frac{5 \pm 7}{6} \implies x = 2 \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{3} $$ Сверим полученные корни с ОДЗ: - $x = -1$ не входит в ОДЗ (посторонний корень); - $x = -\frac{1}{3}$ и $x = 2$ входят в ОДЗ. **Ответ:** $-\frac{1}{3}$; $2$. --- ### 4) $$ \frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x - 1)}{x^2 + x - 2} $$ Разложим знаменатель правой части на множители: $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x \neq 1, \quad x \neq -2 $$ Умножим обе части уравнения на $(x - 1)(x + 2)$: $$ 2x^2(x + 2) - 3x(x - 1) = 2(4x - 1) $$ Раскроем скобки: $$ 2x^3 + 4x^2 - 3x^2 + 3x = 8x - 2 $$ $$ 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 $$ Подбором находим корень $x = 1$: $2(1)^3 + 1^2 - 5(1) + 2 = 0$. Разложим многочлен на множители: $$ 2x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 3x - 2x + 2 = 0 $$ $$ 2x^2(x - 1) + 3x(x - 1) - 2(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(2x^2 + 3x - 2) = 0 $$ Решим уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x = \frac{-3 \pm 5}{4} \implies x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -2 $$ Сверим корни с ОДЗ: - $x = 1$ не подходит по ОДЗ (посторонний корень); - $x = -2$ не подходит по ОДЗ (посторонний корень); - $x = \frac{1}{2}$ входит в ОДЗ. **Ответ:** $\frac{1}{2}$. --- ### 5) $$ \frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2 - 3x - 2x^2} $$ Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе правой части на множители: $$ -2x^2 - 3x + 2 = -(2x^2 + 3x - 2) = -(2x - 1)(x + 2) $$ Перепишем уравнение: $$ \frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = -\frac{3}{(2x-1)(x+2)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x \neq \frac{1}{2}, \quad x \neq -2 $$ Умножим обе части уравнения на $(2x - 1)(x + 2)$: $$ 3x(x + 2) + (x + 1)(2x - 1) = -3 $$ Раскроем скобки: $$ 3x^2 + 6x + 2x^2 + x - 1 = -3 $$ $$ 5x^2 + 7x + 2 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ $$ x = \frac{-7 \pm 3}{10} \implies x = -1 \quad \text{или} \quad x = -\frac{2}{5} $$ Оба корня входят в ОДЗ. **Ответ:** $-1$; $-\frac{2}{5}$. --- ### 6) $$ \frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{6 + 7x - 3x^2} $$ Разложим на множители знаменатель в правой части: $$ -3x^2 + 7x + 6 = -(3x^2 - 7x - 6) = -(x - 3)(3x + 2) $$ Перепишем уравнение: $$ \frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = -\frac{4}{(x-3)(3x+2)} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ x \neq 3, \quad x \neq -\frac{2}{3} $$ Умножим обе части уравнения на $(x - 3)(3x + 2)$: $$ (1 - x)(3x + 2) - 2x(x - 3) = -4 $$ Раскроем скобки: $$ (3x + 2 - 3x^2 - 2x) - (2x^2 - 6x) = -4 $$ $$ -3x^2 + x + 2 - 2x^2 + 6x + 4 = 0 $$ $$ -5x^2 + 7x + 6 = 0 $$ $$ 5x^2 - 7x - 6 = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $$ $$ x = \frac{7 \pm 13}{10} $$ $$ x_1 = \frac{20}{10} = 2, \quad x_2 = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} $$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ:** $-\frac{3}{5}$; $2$.