ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 216

1) $y = \sqrt[3]{x^2 + 2x - 15}$ Показатель корня равен $3$ — нечётное число. Корень нечётной степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения. Так как многочлен $x^2 + 2x - 15$ определён при всех $x \in \mathbb{R}$, то область определения функции — любое действительное число. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- 2) $y = \sqrt[4]{13x - 22} - x^2$ Показатель корня равен $4$ — чётное число. Корень чётной степени определён только при неотрицательных значениях подкоренного выражения, а выражение $x^2$ определено при любых $x$. Составим и решим неравенство: $$ 13x - 22 \ge 0 $$ $$ 13x \ge 22 $$ $$ x \ge \frac{22}{13} $$ $$ x \ge 1\frac{9}{13} $$ Ответ: $x \in \left[\frac{22}{13}; +\infty\right)$ (или $x \in \left[1\frac{9}{13}; +\infty\right)$). --- 3) $y = \sqrt{\frac{x^2 + 6x + 5}{x + 7}}$ Квадратный корень определён, если подкоренное выражение неотрицательно, при этом знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ \frac{x^2 + 6x + 5}{x + 7} \ge 0 $$ Разложим числитель дроби на множители. Найдём корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -6 \\ x_1 \cdot x_2 = 5 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = -5 $$ Тогда числитель равен $(x + 1)(x + 5)$. Получаем неравенство: $$ \frac{(x + 1)(x + 5)}{x + 7} \ge 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: 1. Нули числителя: $x = -5$, $x = -1$ (точки входят в область определения, так как знак неравенства нестрогий). 2. Нули знаменателя: $x + 7 = 0 \implies x = -7$ (точка выколотая, так как делить на ноль нельзя). Отметим точки на числовой прямой и определим знаки дроби на полученных промежутках: - на $(-\infty; -7)$: знак «$-$» - на $(-7; -5]$: знак «$+$» - на $[-5; -1]$: знак «$-$» - на $[-1; +\infty)$: знак «$+$» Выбираем интервалы со знаком «$+$»: $$ x \in (-7; -5] \cup [-1; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-7; -5] \cup [-1; +\infty)$. --- 4) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x^2 + 8x + 7}}$ Квадратный корень определён, если подкоренное выражение неотрицательно, при этом знаменатель не равен нулю: $$ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 8x + 7} \ge 0 $$ Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: 1. Числитель: по формуле разности квадратов $$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $$ 2. Знаменатель: найдём корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -8 \\ x_1 \cdot x_2 = 7 \end{cases} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = -7 $$ Значит, $x^2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7)$. Перепишем исходное неравенство: $$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 1)(x + 7)} \ge 0 $$ Решим его методом интервалов: 1. Нули числителя: $x = -3$, $x = 3$ (закрашенные точки). 2. Нули знаменателя: $x = -7$, $x = -1$ (выколотые точки, $x \ne -7$ и $x \ne -1$). Нанесём точки на числовую прямую: $-7$, $-3$, $-1$, $3$. Определим знаки выражения на интервалах: - на $(-\infty; -7)$: знак «$+$» - на $(-7; -3]$: знак «$-$» - на $[-3; -1)$: знак «$+$» - на $(-1; 3]$: знак «$-$» - на $[3; +\infty)$: знак «$+$» Выбираем промежутки, где выражение неотрицательно: $$ x \in (-\infty; -7) \cup [-3; -1) \cup [3; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [-3; -1) \cup [3; +\infty)$.