ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 18

1) $(2x + 1)(x^3 + 1) + x^2 = 2x(x^3 + 3) - 5$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$ 2x^4 + 2x + x^3 + 1 + x^2 = 2x^4 + 6x - 5 $$ Приведем подобные слагаемые в левой части: $$ 2x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = 2x^4 + 6x - 5 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 2x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 - 2x^4 - 6x + 5 = 0 $$ $$ x^3 + x^2 - 4x + 6 = 0 $$ Среди делителей свободного члена ($\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$) найдем корень уравнения. При $x = -3$: $$ (-3)^3 + (-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 6 = -27 + 9 + 12 + 6 = 0 $$ Значит, $x = -3$ — корень уравнения, а многочлен делится на $(x + 3)$. Разложим левую часть на множители путем группировки: $$ x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x + 2x + 6 = 0 $$ $$ x^2(x + 3) - 2x(x + 3) + 2(x + 3) = 0 $$ $$ (x + 3)(x^2 - 2x + 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x + 3 = 0 \implies x = -3$; 2) $x^2 - 2x + 2 = 0$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0$$ Уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $-3$. --- 2) $(2x^2 - 1)^2 + x(2x - 1)^2 = (x + 1)^2 + 16x^2 - 6$ Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $$ (4x^4 - 4x^2 + 1) + x(4x^2 - 4x + 1) = (x^2 + 2x + 1) + 16x^2 - 6 $$ $$ 4x^4 - 4x^2 + 1 + 4x^3 - 4x^2 + x = 17x^2 + 2x - 5 $$ $$ 4x^4 + 4x^3 - 8x^2 + x + 1 = 17x^2 + 2x - 5 $$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = 0 $$ Среди делителей свободного члена найдем целые корни. При $x = 2$: $$ 4 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 - 25 \cdot 2^2 - 2 + 6 = 64 + 32 - 100 - 2 + 6 = 0 $$ Значит, $x = 2$ — корень уравнения, многочлен делится на $(x - 2)$. Разделим многочлен на $(x - 2)$: $$ 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = (x - 2)(4x^3 + 12x^2 - x - 3) $$ Сгруппируем слагаемые во второй скобке: $$ 4x^3 + 12x^2 - x - 3 = 4x^2(x + 3) - 1(x + 3) = (x + 3)(4x^2 - 1) $$ Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $$ (x - 2)(x + 3)(4x^2 - 1) = 0 $$ $$ (x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$; 2) $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$; 3) $2x - 1 = 0 \implies x_3 = \frac{1}{2}$; 4) $2x + 1 = 0 \implies x_4 = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-3; -0{,}5; 0{,}5; 2$. --- 3) $x^2(x - 2)(6x + 1) + x(5x + 3) = 1$ Раскроем скобки: $$ x^2(6x^2 + x - 12x - 2) + 5x^2 + 3x = 1 $$ $$ x^2(6x^2 - 11x - 2) + 5x^2 + 3x - 1 = 0 $$ $$ 6x^4 - 11x^3 - 2x^2 + 5x^2 + 3x - 1 = 0 $$ $$ 6x^4 - 11x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0 $$ Сумма коэффициентов многочлена равна $6 - 11 + 3 + 3 - 1 = 0$, следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения. Разложим многочлен на множители, выделив $(x - 1)$: $$ 6x^4 - 6x^3 - 5x^3 + 5x^2 - 2x^2 + 2x + x - 1 = 0 $$ $$ 6x^3(x - 1) - 5x^2(x - 1) - 2x(x - 1) + 1(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(6x^3 - 5x^2 - 2x + 1) = 0 $$ Для многочлена $6x^3 - 5x^2 - 2x + 1$ сумма коэффициентов также равна $6 - 5 - 2 + 1 = 0$, значит, $x = 1$ снова является корнем: $$ 6x^3 - 6x^2 + x^2 - x - x + 1 = 0 $$ $$ 6x^2(x - 1) + x(x - 1) - 1(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(6x^2 + x - 1) = 0 $$ Уравнение принимает вид: $$ (x - 1)^2(6x^2 + x - 1) = 0 $$ Приравниваем множители к нулю: 1) $(x - 1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$; 2) $6x^2 + x - 1 = 0$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$ $$x = \frac{-1 \pm 5}{12}$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ $$x_3 = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$ Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; 1$. --- 4) $x^2(3x + 1) - (x^2 + 1)^2 = 3$ Раскроем скобки: $$ 3x^3 + x^2 - (x^4 + 2x^2 + 1) = 3 $$ $$ 3x^3 + x^2 - x^4 - 2x^2 - 1 - 3 = 0 $$ $$ -x^4 + 3x^3 - x^2 - 4 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^4 - 3x^3 + x^2 + 4 = 0 $$ Среди делителей свободного члена найдем целые корни. При $x = 2$: $$ 2^4 - 3 \cdot 2^3 + 2^2 + 4 = 16 - 24 + 4 + 4 = 0 $$ Значит, $x = 2$ — корень уравнения. Разложим многочлен на множители: $$ x^4 - 2x^3 - x^3 + 2x^2 - x^2 + 2x - 2x + 4 = 0 $$ $$ x^3(x - 2) - x^2(x - 2) - x(x - 2) - 2(x - 2) = 0 $$ $$ (x - 2)(x^3 - x^2 - x - 2) = 0 $$ Проверим значение $x = 2$ для второго множителя: $$ 2^3 - 2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0 $$ Значит, $x = 2$ является корнем еще раз. Разложим $x^3 - x^2 - x - 2$: $$ x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x + x - 2 = x^2(x - 2) + x(x - 2) + 1(x - 2) = (x - 2)(x^2 + x + 1) $$ Уравнение принимает вид: $$ (x - 2)^2(x^2 + x + 1) = 0 $$ Приравниваем множители к нулю: 1) $(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$; 2) $x^2 + x + 1 = 0$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$ Действительных корней нет. Ответ: $2$.