ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 17

Так как числа $x_1$, $x_2$ и $x_3$ являются корнями уравнения $x^3 + ax + b = 0$, каждое из них обращает это уравнение в верное числовое равенство: $$ x_1^3 + ax_1 + b = 0 \implies x_1^3 = -ax_1 - b $$ $$ x_2^3 + ax_2 + b = 0 \implies x_2^3 = -ax_2 - b $$ $$ x_3^3 + ax_3 + b = 0 \implies x_3^3 = -ax_3 - b $$ Сложим почленно эти три равенства: $$ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -a(x_1 + x_2 + x_3) - 3b $$ Запишем исходное уравнение в полном виде: $x^3 + 0 \cdot x^2 + ax + b = 0$. По теореме Виета для кубического уравнения сумма корней равна коэффициенту при $x^2$, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену с противоположным знаком: $$ x_1 + x_2 + x_3 = 0 $$ $$ x_1 x_2 x_3 = -b \implies b = -x_1 x_2 x_3 $$ Подставим полученные выражения в сумму кубов: $$ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -a \cdot 0 - 3(-x_1 x_2 x_3) $$ $$ x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3x_1 x_2 x_3 $$ Что и требовалось доказать.